1.1 菱形的性质与判定（2）
一．备课标：
（一）内容标准：
（1）探索并证明菱形的判定定理。
（2）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
（3）学会独立思考，体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力。
（二）核心概念：本节课通过对菱形的判定定理的探索与证明，建立符号意识、空间观念，初步形成几何直观，发展学生的推理能力。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：
本章属于 “图形与几何” 领域，是在八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”的基础上继续采用探究和证明相结合的方式研究特殊平行四边形，有助于深化学生对平行四边形的理解，是发展学生空间观念的重要载体。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
（二）重点、难点分析：
本节主要是探索并证明菱形的判定定理，学生虽然已经已经具备了一定的推理能力，但是严格的推理证明还需要适时的指导，运用判定定理需要及时指导，所以确定：
重点：探索并证明菱形的判定定理。
难点：选择合适的判定方法进行运用。
三．备学情：
（一） 学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：学生已经学习了平行四边形的判别方法，能够从边、角、对角线等角度说出平行四边形的判别方法；并且认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。
（2）支持性条件：学生在前面的学习中已经积累了总结概括知识的经验，能够类比已有知识框架构建新知，了解特殊图形与一般图形的关系。
2.起点能力分析
学生在八年级上册学习了证明，并在此基础上在八年级下册研究过平行四边形的判别，有一定的识图能力、操作能力、推理能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题： 对于菱形的判定定理的发现和证明，学生困难不大，但是对于性质的证明的严密性和方法问题存在差异，特别是合适地选择判定方法解决问题有一定困难，针对这一问题，采取策略是：引导学生从两个角度考虑，一是着眼于要判断的图形是平行四边形还是四边形，二是要着眼于要判断的图形的组成元素对角线还是边
四．教学目标：
1．知识目标：
理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．能力目标：
（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
（2）经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
（3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。
3．情感与价值观要求
（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
（2）通过“实验—猜想—证明—应用“的数学活动提升科学素养.
五．教学过程：
（一）、构建动场
活动一：制作菱形
在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；
想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.
利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.
设计意图：通过制作棱形的过程学生可以体会菱形的判定条件，从而为课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。
（二）、自主学习
活动二：复习上节课探究过的菱形的性质
设计意图：通过互相提问问题，回顾上节课探究过的菱形的性质定理，从而为本节课课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。
（三）、合作交流
活动三：1、利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。
用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源:
对角线垂直的平行四边形是棱形
四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路
菱形的尺规作图
利用长方形纸剪折菱形
设计意图：菱形的性质学生刚刚学完，也经过了严格的证明，学生对问题证明的分析和格式要求有一定的认知，教师引导学生认识判定定理与性质定理是互逆定理后，可以让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
2、完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。
（一）对角线垂直的平行四边形是菱形
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
（二）四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证: 四边形ABCD是菱形
证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
设计意图：菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
活动四：小组合作完成教材中的两个习题
1.教材P7随堂练习
画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.
2.教材P8 知识技能1
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.
求证: 四边形AECF是菱形
设计意图：运用刚刚证明的两个判定定理解决问题，进一步发展学生的推理能力，同时，通过对教材P7随堂练习的解决，让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。
活动注意事项：
（1）在小组合作过程中教师要能及时发现学生资源,及时点明共性的问题;
（2）鼓励学生提出自己的意见，采用不同的思路解决问题，并能运用本节课的知识解释其中的道理。
（3）强调证明过程书写的规范性；
（4）教材P8 知识技能1
此题完成证明过程后，应当点明可以采用类似方法用长方形纸制作菱形，与第一环节呼应起来。
（四）、合作交流
活动五：学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
设计意图：鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。
六、作业布置
必做：教材 知识技能2
此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理进行证明.
选做： 教材 数学理解3
当堂检测：
1.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
2、如图, □ABCD中,AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线.根据现有的图形，请你添加一个条件,使四边形AECF是菱形.则添加一个条件是___________.(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”)
3、如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．
如果AD平分∠BAC，求证：四边形AEDF是菱形
设计意图：完成对目标一的评价，并在解答过程中进一步发展学生的推理能力。
1.1 菱形的性质与判定（3）
一．备课标：
（一）内容标准：
（1）理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系。
（2）探索并证明菱形的性质定理与判定定理。
（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
（4）学会独立思考，体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力。
（二）核心概念：本节课通过对菱形的性质定理的探索与证明，建立符号意识、空间观念，初步形成几何直观，发展学生的推理能力。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：
本章属于 “图形与几何” 领域，是在八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”的基础上继续采用探究和证明相结合的方式研究特殊平行四边形，有助于深化学生对平行四边形的理解，是发展学生空间观念的重要载体。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
（二）重点、难点分析：
本节主要是在理解概念、探索并证明了菱形的性质、判定定理的基础上，进行知识的综合运用，所以确定：
重点：（1）运用性质定理解决相关问题
（2）运用判定定理解决相关问题
难点：选择合适的判定方法。
三．备学情：
（一） 学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：学生已经学习了菱形的概念、性质、判定方法，并能进行简单应用。
（2）支持性条件：学生在前面的学习中已经积累了总结概括知识的经验，能够应用类比、数形结合、转化等方法解决问题。
2.起点能力分析
经过八年级下册平行四边形相关知识的学习，学生已经基本掌握了平行四边形的相关性质及判定；本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题： 对于简单的菱形的性质、判定的运用学生不存在困难，但是对于性质判定的综合运用，学生的分析转化上会有较大困难，针对这一问题，采取策略是：先让学生独立思考，然后小组合作，最后汇总所有的方法，并由老师分析总结。
四．教学目标：
1.知识与技能目标
能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。
2.过程与方法目标
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感与态度目标
在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
五．教学过程：
（一）、构建动场
活动一：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？
1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：
(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
2. 如图2所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
设计意图：通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生学习兴趣。
（二）、自主学习、合作交流
1.典型例题：
例1 如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,即∠AED=90°，
DE=BD×10=5（cm）
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
（2）S菱形ABCD= S△ABD+ S△CBD
=2×S△ABD=2××BD×AE
= BD×AE=10×12=120(cm2).
设计意图：通过例1让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。
2.变式训练：如上图3，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：
(1)菱形的边长；
(2)求菱形一条边上的高。
设计意图：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。
建模1：
同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？
：
跟踪练习：
已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是 cm2.
设计意图：对于数学学科的学习，大多数数学老师我想都有这样的感受，无论是新授课还是复习课，学生掌握知识的差异太大了，为了不让掌握较快的同学（我们称为“知者”）在陪读中浪费大量的时间，自然分材教学主张这部分同学能够先行一步，课堂上能尽可能多的掌握知识（我们称为“加速”）。
正是因为数学每一节课的知识点都比较集中，数学课堂上对于学困生的帮助才比较容易操作。教师在面向全体学生实施教学后，对掌握较慢接受能力较差的同学（我们称为“补读生”）应及时帮困。
拓展提高
1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
3：已知：如图10，在Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
设计意图：很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，但是他们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固。
（三）、综合建模
通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以下三个方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。总结完成后请小组内进行交流。最后教师应对本节课方法上，解题思路上进行升华点拨。
设计意图：学生能从以上三个方面对本节课进行总结、反思，能起到巩固所学知
六、布置作业
必做题：课本p27知识技能第3题，第4题，第8题；
选做题：如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
设计意图：教师根据学生掌握水平的不同把作业分为必做题和选做题，必做题是学生必须掌握的题目，对于巩固本节课的基础知识能起到较好的作用，选做题是对于学有余力的学生准备的，让他们在掌握基础的同时向更高的目标迈进。
当堂测试
1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则
∠ABC= °，AC= cm.
2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是????????cm2．
3.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
4. 已知：如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
设计意图：
完成对目标1的评价，并在解决过程中提高学生的数形结合、转化的能力。
