倍长中线
教学目标：掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形，解决实际问题。
教学重点：判断倍长中线的条件，构造全等三角形。
教学难点：灵活运用倍长中线。
定 义 示例剖析
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角． 其中，延长使得，则．
【例1】已知中，平分，且，求证：．
【拓展1】已知△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．
【拓展2】已知△ABC中，AD⊥BC，且，求证：AB=AC．
【例2】（1）如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是 ．
如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；
③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是 ．
【例3】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，.求证：．
【例4】已知为的中线，、的平分线分别交于、交于．
求证：．
【例5】如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分.
求证：
【练1】△ABC中，AB=3，AC=5，求中线AD的取值范围.
【练2】如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，
试说明BE+CF＞EF.
【练3】已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE.
【练4】如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
【练5】已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
【课后作业1】
在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？
【课后作业2】
在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．
【课后作业3】
如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．
求证：∥．
截长补短
教学目标：掌握截长补短的条件，学会运用截长补短构造全等三角形，解决实际问题。
教学重点：判断截长补短的条件，构造全等三角形。
教学难点：灵活运用截长补短。
定 义 示例剖析
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得
【例1】在中，的平分线交于，，，求的大小．
【例2】如图，在中，，的平分线交于点．求证：．
【例3】已知：在中，，，求证：．
【例4】如图，中，，，平分交于点．求证：．
截长补短 + 半角旋转模型
【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．
【变式二】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．
【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
【变式四】正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？
【练1】如图，在中，，的平分线交与．
求证：．
【练2】如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC
【练3】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，
求证：
【练4】已知中，，、分别平分和，、 交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
【练5】如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．
【课后作业1】
如图所示，已知中，，，平分，求证：．
【课后作业2】
已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
【课后作业3】
已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
