北师大版数学八年级上册2.7.1 二次根式及其化简教学设计
课题
2.7.1 二次根式及其化简
单元
第二单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：1.了解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
过程与方法：在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.
重点
认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质
难点
能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：思考回答下面几个问题。
（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，
∠C＝90°，那么AB边的长是多少？
(2)面积为S的正方形的边长是多少？
(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)
师：上述结果有什么共同特征？
生：思考回答问题
（1）由勾股定理得AB=
（2）面积为S的正方形的边长是
(3)r=
通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．
讲授新课
观察下列代数式：
，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：
都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
【例】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
特点：①都是形如的式子，②a都是非负数.
注意：a可以是数，也可以是式.
【想一想】要使有意义，a必须满足什么条件？
在二次根式 中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数，这是定义的一个重要组成部分，不可忽略，因为负数没有平方根，所以当a小于0时， 没有意义。
（1）＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ．
（2）用计算器计算：
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ．
从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．
化简
；（2）；（3）。
化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
例题中的化简结果 中，被开方数都不含分母，也不含能开的尽方的因数。
定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
化简.
分母有理化
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
（1）你怎么发现含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
生：（1）分别表示5，11，7.2， （c+b）（c-b）的算术平方根．
生：(1)(4)(6)是二次根式； (3)(5)(7)不是二次根式.
学生思考回答问题，
最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
学生在教师的引导下总结规律。
学生利用所学知识做例题
介绍二次根式的概念。一般地，式子叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：．
最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．
由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.
根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．
课堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ B ）
4.当x__________，在实数范围内有意义。
解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x+3≥0和分母x+1≠0，解得x≥3且x≠-1.
5.观察下列各式：
猜想等于多少，并通过计算验证你的猜想。
6.（2019·云南）要使有意义，则x的取值范围为( B ）
A. x≤0 B. x≥-1 C.x≥0 D. x≤-1
7.(桂林) 若|3x－2y－1|＋ ＝0，则x，y的值为( D )
A．x＝1，y＝4 B．x＝2，y＝0
C．x＝0，y＝2 D．x＝1，y＝1
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
课件26张PPT。2.7.1 二次根式及其化简北师版 八年级上新知导入（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，
∠C＝90°，那么AB边的长是多少？
(2)面积为S的正方形的边长是多少？
(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？新知讲解观察下列代数式：（1）这些式子分别表示什么意义？①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？新知讲解可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：
都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.二次根号a≥0新知讲解【例】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？(1)(4)(6)是二次根式； (3)(5)(7)不是二次根式.注意：a可以是数，也可以是式.新知讲解解：由x-2≥0，得x≥2.【想一想】要使 有意义，a必须满足什么条件？新知讲解【做一做】
(1)计算下列各式，你能得到什么猜想?66新知讲解【做一做】
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流.从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?两个式子均相等新知讲解二次根式的性质：
积的算术平方根，等于________________;
商的算术平方根，等于________________;算术平方根的积算术平方根的商（a≥0， b＞0）． 公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分，不可忽略.新知讲解【化简】化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?新知讲解定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．新知讲解【化简】怎样化简？分母有理化新知讲解分母有理化
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．你会做了吗？新知讲解【化简】新知讲解【议一议】(1)你是怎么发现 含有开得尽方的因数的?
你是怎么判断 是最简二次根式的?新知讲解最简二次根式的条件：①是二次根式；②被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【议一议】(2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会?与同伴进行交流.课堂练习1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）C2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）B课堂练习课堂练习x≥3且x≠-1拓展提高5.观察下列各式：中考链接B6.（2019·云南）要使 有意义，则x的取值范围为( ）A. x≤0 B. x≥-1 C.x≥0 D. x≤-1 7.(桂林) 若|3x－2y－1|＋ ＝0，则x，y的值为( )
A．x＝1，y＝4 B．x＝2，y＝0
C．x＝0，y＝2 D．x＝1，y＝1D课堂总结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性最简二次根式板书设计2.7.1二次根式最简二次根式作业布置课本 P42 练习题
P43 习题2.9谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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