4.6 利用相似三角形测高 教学设计

6　利用相似三角形测高
一、基本目标
1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形的有关知识，积累数学活动的经验．
2．熟悉测量工具的使用技能，了解使用小镜子的物理原理．
3．通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法，提高综合运用知识的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
1．测量旗杆高度的数学依据．
2．有序安排测量活动，并指导学生进行测量．
【教学难点】
建立相似三角形模型测量物体的高度．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P103～P105的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．利用阳光下的影子测量旗杆的高度
让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长BC，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长EC，如图1.结论：同一时刻，＝.

图1 图2
2．利用标杆测量旗杆的高度
步骤：(1)测量出标杆CD的长度，测出观测者眼部以下高度EF；
(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者EF的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼睛三者在同一条直线上，测出观测者距标杆底端的距离FD和距旗杆底部的距离FB；
(3)根据＝，求得AH的长，再加上EF的长即为旗杆AB的高度．
3．利用镜子的反射测量旗杆的高度
步骤：(1)在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；
(2)测出观测者眼睛到地面的距离CD；
(3)观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上标记O到人脚底D的距离OD及镜子上的标记O到旗杆底部的距离OB；
(4)把测得的数据代入＝，即可求得旗杆的高度AB.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是(　　)
A．6米 B．8米
C．10米 D．12米
【互动探索】(引发学生思考)∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，即＝，解得CD＝8.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的有关知识，同时渗透光学中的反射原理．
【例2】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
【互动探索】(引发学生思考)要求建筑物的高AB，一般转换为利用相似三角形对应边成比例，根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，即可得出结论．
【解答】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝.
∵CD＝DG＝EF＝2 m，DF＝52 m，FH＝4 m，
∴＝，＝，
∴＝，
解得BD＝52，
∴＝，
解得AB＝54.
即建筑物的高为54米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．在测量时要注意以下几点：(1)可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高；(2)观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2 m，CA＝0.8 m，则树的高度为(　C　)
A．4.8 m B．6.4 m
C．8 m D．10 m
2．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900 cm.则旗杆的长为(　D　)
A．900 cm B．1000 cm
C．1100 cm D．1200 cm
3．某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，那么该建筑物的高为21.6米．
4．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3 m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C1处也直立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6 m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4 m．求旗杆AB的高．
解：设BO＝x，GO＝y.∵GD∥OB，∴△DGF∽△BOF，∴1.5∶x＝3∶(3＋y)，同理1.5∶x＝4∶(y＋6＋3)，解得经检验x＝9，y＝15均是原方程的解，∴旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(米)．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)