4.7 相似三角形的性质 教学设计（2课时）

7　相似三角形的性质
第1课时　相似三角形的性质1
一、基本目标
1．通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，认识相似三角形的性质．
2．熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比，并能用此来解决简单的问题．
二、重难点目标
【教学重点】
运用相似三角形的性质解决实际问题．
【教学难点】
相似三角形的对应线段的比的运用．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P106～P107的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比.
2．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
解：图中还有其他的相似三角形，如：△ABD∽△A′B′D′；△ADC∽△A′D′C′.
(2)△ABC与△A′B′C′的对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于k.
3．如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是(　B　)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例题】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．
【解答】已知：如图，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．
求证：＝k.
证明：∵△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，
∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1.
∵AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC，
∠B1A1D1＝∠B1A1C1，
∴∠BAD＝∠B1A1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴＝＝k.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两组角对应相等的两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9，则它们的相似比为(　A　)
A．8∶9 B．9∶8
C．64∶81 D．2∶3
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为(　A　)
A．2∶3 B．3∶2
C．4∶9 D．9∶4
3．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是(　C　)
A. m B． m
C. m D． m
4．若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝2 cm，A′B′＝1 cm，则它们对应角平分线的比为3∶2.
5．若△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，AD∶A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条中线B′E′＝16 cm，则△ABC的中线BE＝12 cm.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比．
第2课时　相似三角形的性质2
一、基本目标
1．熟练应用相似三角形的性质：周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方，并能用此来解决简单的问题．
2．利用相似三角形的周长比与面积比，猜想相似多边形的周长比与面积比，体会类比思想．
二、重难点目标
【教学重点】
运用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系解决问题．
【教学难点】
相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的性质：
相似三角形的周长比等于相似比；
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
2．相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
相似多边形对应对角线的比等于相似比；
相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知△ABC∽△DEF，＝，则下列等式一定成立的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【互动探索】(引发学生思考)∵△ABC∽△DEF，＝，∴＝.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了相似三角形的性质，正确把握：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；(2)相似三角形的周长比等于相似比；(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，则S△ABC∶S△A′B′C′＝(　C　)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
2．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1∶2，若BC＝1，则对应边EF的长是(　A　)
A. B．2
C．3 D．4
3．设两个相似多边形的周长比是3∶4，它们的面积差为70，那么较小的多边形的面积是(　B　)
A．80 B．90
C．100 D．120
4．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是4∶9.
5．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
解：(1)∵＝，∴△DEF的周长为12×＝8(cm)．　(2)∵＝，∴△DEF的面积为30×2＝13(cm2)．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？(结果保留根号)
【互动探索】先根据AB＝2AD，△ABC∽△ADE，△ABC是面积为求出△ADE的面积，再判断出△ADE的形状，根据等边三角形的面积求出AE的长，作FG⊥AE于G，由等边三角形及直角三角形的定义判断出△AFG是等腰直角三角形，设AG＝FG＝h，在Rt△FGE中利用勾股定理即可求出h的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】∵AB＝2AD，∴＝2.
又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面积为，
∴＝4，∴S△ADE＝.
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，AE＝1.
作FG⊥AE于G.
∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠EAF＝45°，
∴△AFG是等腰直角三角形．
设AG＝FG＝h，在Rt△FGE中，
∵∠E＝60°，EG＝1－h，FG＝h，
∴∠EFG＝30°，∴EF＝2EG＝2(1－h)．
∵EG2＋GF2＝EF2，
∴(1－h)2＋h2＝4(1－h)2，解得h＝，
∴S△AEF＝×1×＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题要求△AEF的面积，先根据题意求出△ADE的面积并判断出△ADE的形状，求出AE的长，再作辅助线FG⊥AE于G，判断出△AFG是等腰直角三角形，求出FG的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形(多边形)的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．