3.1 用树状图或表格求概率 教案（3课时）

3．1　用树状图或表格求概率
第1课时　求两个等可能事件组合而成随机事件的概率
教学目标：
【知识与技能】
1．通过试验和计算，认识互不关联的两个等可能事件组合而成随机事件的概率可以由画树状图或列表法求得．
2．掌握画树状图和列表的方法，并会用画树状图或列表法计算由两个互不关联的两个等可能事件组合而成随机事件的概率．
【过程与方法】
经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力．
【情感态度】
通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美及数学应用的广泛性．
教学目标：
【教学重点】
借助树状图和列表法计算由两个互不关联的等可能事件组合而成随机事件的概率．
【教学难点】
正确应用树状图和列表法计算由两个互不关联的等可能事件组合而成随机事件的概率．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
问题再现：小明和小凡一起做游戏．在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜.
(1)这个游戏对双方公平吗？
(2)在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？
遇到了新问题：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票．三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜．
你认为这个游戏公平吗？(如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大？)
二、合作交流，探究新知
活动内容：通过大量重复试验我们发现，在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率. 所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利．
深入探究：在上面抛掷硬币试验中，
(1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
(2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
探究体会：由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的．所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的(正，正)(正，反)(反，正)(反，反)四种情况是等可能的．因此，我们可以用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果：
　　　　第二枚硬币
第一枚硬币　　　　
正
反
正
(正，正)
(正，反)
反
(反，正)
(反，反)
　　其中，小明获胜的结果有一种：(正，正)．所以小明获胜的概率是；
小颖获胜的结果有一种：(反，反)．所以小颖获胜的概率也是；
小凡获胜的结果有两种：(正，反)(反，正)．所以小凡获胜的概率是.
因此，这个游戏对三人是不公平的．
利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗留地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
三、运用新知，深化理解
活动内容1：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2.从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验．
(1)一次试验中两张牌的牌面数
字和可能有哪些值？
(2)(同学合作试验)依次统计试验30次、60次、90次的牌面情况，填写下表：
第一张牌的牌面数字
第二张牌的牌面数字
第一张牌的牌面数字为1的次数
第二张牌的牌面数字为1的次数
第二张牌的牌面数字为2的次数
第一张牌的牌面数字为2的次数
第二张牌的牌面数字为1的次数
第二张牌的牌面数字为2的次数
　　(3)你认为两张牌的牌面数字和为多少的概率最大？
(4)请你估计，两张牌的牌面数字和等于3的概率是多少？
(5)请你利用本节课学习的树状图或表格，计算两张牌的牌面数字和等于3的概率，验证(5)中你的估计．
解：方法一：(1)一次试验中．两张牌的牌面数字的和等可能的情况有：
1＋1＝2；1＋2＝3；2＋1＝3；2＋2＝4.
共有四种情况．而和为3的情况有2种，因此，P(两张牌的牌面数字和等于3)＝＝.
两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，而两张牌的牌面数字和为3的情况有2次，因此．两张牌的牌面数字的和为3的概率为＝.
方法二：两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，也可以用树状图来表示而两张牌的牌面数字和为3的情况有2次，因此．两张牌的牌面数字的和为3的概率为＝.
方法三：通过列表的方式
　　　　　　第二张牌面数字
第一张牌面数字　　　　　　
1
2
1
2
　　活动内容2：(回归开始的问题类型，加以巩固提升本节课知识)
一个盒子中装有一个红球、一个白球．这些球除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．求：
(1)两次都摸到红球的概率；
(2)两次摸到不同颜色球的概率；
(3)只有一张电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去看电影．如果是你，你如何选择？
在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时，必须保证各种情况出现的可能性是相同的．
四、反思小结，梳理新知
让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，你有哪些收获？有何感想？用列表法求概率时应注意什么情况？
五、布置作业
1．习题3.1第1、2题．
第2课时　用树状图或表格解决概率问题
教学目标
【知识与技能】
通过两种求概率方法的选择使用，理解两种方法各自的特点，并能根据不同情境选择适当的方法．
【过程与方法】
通过具体情境，感受一件事情公平与否在现实生活中广泛存在，体现数学的价值．
【情感态度】
让学生掌握一定判断事件公平性的方法，提高其决策能力．
重点难点
【教学重点】
理解画树状图或列表法求概率的理论依据，会用画树状图或列表法求概率．
【教学难点】
会从现实问题中抽象出概率模型，并会用画树状图或列表法加以解决．
教学过程
一、创设情境，导入新课
内容：小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
【教学说明】通过儿时的游戏，激发学生学习新知的兴趣．使学生意识到比较事件发生的概率，是评判规则公平与否的依据，而求概率的方法即为课前回顾的——树状图和列表法．
二、合作交流，探究新知
内容：小明和小军两人一起做游戏．游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．如果你是游戏者，你会选择哪个数？
【教学说明】本环节的设置，开放性更强，让学生在问题中需求解决方案．加强对列表法和树状图求概率的理解，从中也体会本题因为结果较多，使用列表法更好一些，感受两种求概率方式的优劣．
三、运用新知，深化理解
内容：有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率．
【教学说明】随堂练习的给出，使学生适应不同的情境，自主选择合适的方式求事件发生的概率，加强树状图和列表法求概率的熟练程度．进一步感受概率存在的普遍性，消除对新知的恐惧感．
例题解析
1．在A、B两个盒子里都装入写有数字0、1的两张卡片，分别从每个盒子里任取1张卡片，两张卡片上的数字之积为0的概率是多少？
解：方法1：画树状图．
从A盒或B盒中任取一张卡片，上面有数字0或1的可能性相等，由树状图可以看出，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，其中两数之积为0的结果有3种，于是P(积为0)＝ .
方法2：完成下表：
　　A
B　　
0
1
0
0
0
1
0
1
由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，积为0的结果有3种，所以P(积为0)＝.
2．把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3.将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率(要求用树状图或列表法求解)．
解：画树状图：
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．
∴P(和为偶数)＝.
列表如下：
　 　第二组
第一组　 　
1
2
3
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
　　由上表可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．
∴P(和为偶数)＝.
3．袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同．任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色．为了研究两次摸球出现某种情况的概率，画出如下树状图．
(1)请把树状图填写完整.
(2)根据树状图可知摸到一红一白两球的概率是______．
解：(1)红　 白　白；(2).
【教学说明】巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．
四、反思小结，梳理新知
让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，你有哪些收获？有何感想？
五、布置作业
1．教材习题3.2第1～3题．
第3课时　求两步随机事件的概率
教学目标
【知识与技能】
会运用树状图或列表法求两步随机事件的概率．
【过程与方法】
经历利用树状图和列表法求概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯．
【情感态度】
鼓励学生思维的多样性，提高应用所学知识解决问题的能力．
重点难点
【教学重点】
借助于树状图、列表法计算随机事件的概率．
【教学难点】
在利用树状图或者列表法求概率时，各种情况出现可能性不同时的情况处理．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动内容：“配紫色”游戏1：小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转，如果转盘A转出了红，转盘B转出了蓝，那么他就赢，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果．
(2)游戏者获胜的概率是多少？
【教学说明】通过这个转转盘“配紫色”游戏，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率的过程，并体会求概率时必须使每种事件发生的可能性相同，培养学生应用所学知识解决问题的能力．提高学生分析问题、解决问题的能力．
二、合作交流，探究新知
游戏2：如果把转盘变成如图所示的转盘进行“配紫色”游戏．
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果．
(2)游戏者获胜的概率是多少？小颖做法如下图，并据此求出游戏者获胜的概率为.
小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是.
红色
蓝色
红色1
(红1，红)
(红1，蓝)
红色2
(红2，红)
(红2，蓝)
蓝色
(蓝，红)
(蓝，蓝)
　　你认为谁做得对？说说你的理由．(小组合作交流)
【教学说明】让学生先自己画树状图或者表格表示出所有可能出现的结果，然后通过合作交流观察A盘和游戏1转盘的区别并做出正确判断．总结出求一件事情发生的概率必须是所有可能出现的结果都相同．
三、运用新知，深化理解
1.教材例2: 一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外其他都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一球．求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．
分析：把两个红球记为红1、红2；两个白球记为白1、白2.则列表格如下：
红1
红2
白1
白2
蓝
红1
(红1，红1)
(红1，红2)
(红1，白1)
(红1，白2)
(红1，蓝)
红2
(红2，红1)
(红2，红2)
(红2，白1)
(红2，白2)
(红2，蓝)
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白1)
(白1，白2)
(白1，蓝)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白1)
(白2，白2)
(白2，蓝)
蓝
(蓝，红1)
(蓝，红2)
(蓝，白1)
(蓝，白2)
(蓝，蓝)
　　总共有25种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，能配成紫色的共4种．
(红1，蓝)(红2，蓝)(蓝，红1)(蓝，红2)，所以P(能配成紫色)＝.
2．将分别标有数字1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)任意抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；
(2)任意抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上的数字，请你列表或画树状图分析并求出组成的两位数恰好是13的概率．
解：(1)P(抽到奇数)＝；
(2)方法一：列表
1
1
2
3
1
11
21
31
1
11
21
31
2
12
12
32
3
13
13
23
所以组成的两位数恰好是13的概率P＝＝.
方法二：树状图
所以组成的两位数恰好是13的概率P＝＝.
3．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
(1)请你通过列表(或画树状图)的方法计算甲获胜的概率．
(2)你认为这个游戏公平吗？为什么？
解：(1)利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率P(甲获胜)＝.
(2)这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P(甲获胜)＝，乙获胜的概率P(乙获胜)＝，≠，所以，游戏对双方是不公平的．
4．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小灯泡发光．
(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于________；
(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
解：(1)；
(2)正确画出树状图(或列表)，图略(表略)．任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，所以小灯泡发光的概率是.
【教学说明】巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．
四、反思小结，梳理新知
让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，你有哪些收获？有何感想？利用树状图和列表法求概率时应注意什么？
五、布置作业
1．教材习题3.3第1～3题．