4.5 相似三角形判定定理的证明 教学设计

*5　相似三角形判定定理的证明
一、基本目标
1．理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识．
2．应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形三个判定定理的证明过程．
【教学难点】
证明相似三角形判定定理．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P99～P102的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
相似三角形的判定方法有哪些？
解：(1)两角分别相等的两个三角形相似．
(2)三边成比例的两个三角形相似．
(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4.
求证：△ADE∽△ACB.
【互动探索】(引发学生思考)计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
【证明】∵AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，
∴AB＝5＋7＝12，AC＝6＋4＝10，
∴＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连结BD.求证：△ABC∽△BDC.
【互动探索】(引发学生思考)题中已知角的大小，可以利用两角分别相等的两个三角形相似来判定，由线段垂直平分线的性质，得DA＝DB，则∠ABD＝∠BAC＝40°，从而求得∠CBD＝40°，即可证出△ABC∽△BDC.
【证明】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∵∠BAC＝40°，∴∠ABD＝40°.
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC.
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知角的大小，而没有给出边长的关系，可以利用两角分别相等的两个三角形相似来判定．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(　C　)
A．△ADE∽△AEF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF
D．△AEF∽△ABF
2．如图，已知△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能满足△APC∽△ACB的条件是(　D　)
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③
3．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或＝，使△ABC∽△ADE.
4．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点， D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为3.
5．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．求证：△DEF∽△CBA.
证明：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴＝，＝，＝.∴＝＝.∴△DEF∽△CBA.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE＝4，AB＝6，AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F.
(1)请你直接写出图中所有的相似三角形；
(2)求AG与GF的比．
【互动探索】先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ACB，则∠ADG＝∠C，∠AEG＝∠B，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ADG∽△ACF和△AGE∽△AFB，最后利用相似比和比例的性质求的值．
【解答】(1)△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB.
(2)∵＝＝，＝.
∴＝，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG＝∠C.
∵AF为角平分线，
∴∠DAG＝∠FAE，
∴△ADG∽△ACF，
∴＝＝，
∴＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)