4.4 探索三角形相似的条件 教案（4课时）

4．4　探索三角形相似的条件
第1课时　两个三角形相似的基本方法
教学目标：
【知识与技能】
1．经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程．
2．能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题．
【过程与方法】
让学生经历观察、试验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐．
重点难点：
【教学重点】
三角形相似的判定定理1及应用．
【教学难点】
三角形相似的判定定理1的证明．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
现有一块三角形玻璃ABC, 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？
【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课．
二、合作交流，探究新知
问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．
1．动手试验：
现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．
【教学说明】学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨．
学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：
① 这样的两个三角形不一定全等．
② 两个三角形三个角都对应相等．
③ 通过度量后计算，得到三边对应成比例．
④ 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．
此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题： 两角对应相等，两三角形相似．
2．进而让学生画出图形，写出已知、求证．
已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.
求证： △A′B′C′∽△ABC.
证明：在△ABC的AB上截取BD＝B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.
∴△ABC∽△DBE，
∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′，
∴∠BDE＝∠A′，
∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′，
∴△DBE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励．
【归纳结论】判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
三、运用新知，深化理解
1．求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似．
已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.
证明：略．
2．判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(√)
(2)所有的直角三角形都相似．(×)
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(×)
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(√)
3．已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝75°，∠C＝50°，∠A′＝55°，问：这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似．理由如下：在△ABC中，
∵∠B＝75°，∠C＝50°，
∴∠A＝55°，
∴∠B＝∠B′，∠A＝∠A′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
4．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BCD.
5．如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△EGC∽△EAB.
分析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1＝∠3(对顶角)，由AB∥DG可得∠4＝∠G，所以△EGC∽△EAB.
6．如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似．并说明线段DE的画法．
分析：画相似的三角形主要是作相等的角，所以需要画平行线．
如：
画法：略．
【教学说明】在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法，从而得到提高．
四、反思小结，梳理新知
内容：(1)学完本堂课后，你对自己的表现有何评价？
(2)在知识，技能的学习过程中你学到了哪些知识？掌握了那些方法？
(3)你对简单的推理学习是否感到困难？同伴中在这方面表现突出的是谁？你从他们身上学到了什么？
第2课时　两边一夹角判定两个三角形相似
教学目标：
【知识与技能】
1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”；
2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．
【过程与方法】
学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．
重点难点：
【教学重点】
掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．
【教学难点】
相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
内容：如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20 m，那么AB＝2×20＝40 m．你知道这是为什么吗？
二、合作交流，探究新知
内容：以四人为一组，合作探究、交流展示：
1．画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，＝都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小(或∠C与∠C′)．△ABC和△A′B′C′相似吗？
2．改变k值的大小，再试一试．
由学生归纳总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
3．如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【归纳总结】两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似．
三、运用新知，深化理解
1．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，求AD的长．
分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似．再利用相似三角形的性质得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．
解：由已知条件可以得出：＝，
又∠B＝∠ACD，根据判定定理2可得出：
△ABC∽△DCA，∴＝，
又AC＝5，BC＝4，
∴AD＝＝＝.
2．格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．
分析：这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．
解：在格点中DE⊥EF，AB⊥BC，所以∠E＝∠B＝90°，又EF＝1，DE＝2，BC＝2，AB＝4.所以＝＝.所以△DEF∽△ABC.
3．如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC＝1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1 m)．
分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA与△MNA的相似关系就明确了．
解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∠BAC＝∠MAN，
所以△BCA∽△MNA.
所以MN∶BC＝AN∶AC，
即MN∶1.6＝20∶1.5.
所以MN＝1.6×20÷1.5≈21.3(m)．
4．如图，下列图形中，存在相似三角形吗？如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
(1)　　　　　　　　(2)
(3)　　　　　　　　(4)
(5)　　　　　　　　(6)
解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等； (2)△ADE∽△ACB，两角相等；(3)△CDE∽△CAB，两角相等；(4)△EAB∽△ECD，两边成比例夹角相等；(5)△ABD∽△ACB，两边成比例夹角相等； (6)△ABD∽△ACB，两边成比例夹角相等．
【教学说明】能够运用所学的判定方法解决简单问题．
四、反思小结，梳理新知
内容：1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
2．你还有哪些困惑？
第3课时　三角形相似判定的应用
教学目标：
【知识与技能】
1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法．
2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题．
【过程与方法】
学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．
重点难点：
【教学重点】
掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”．
【教学难点】
会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：我们上两节课学过什么定理？
师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．
师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．
画△ABC与△A′B′C′，使、和都等于给定的值k.
(1)设法比较∠A与∠A′的大小．
(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．
改变k值的大小，再试一试．
生：按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值．
二、合作交流，探究新知
内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．
师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？
生：结论为∠A＝∠A′，△ABC∽△A′B′C′，
理由是：∠A＝∠A′，＝.
根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC∽△A′B′C′.
师：其他组的同学的结论相同吗？
生：相同．
师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法．
师： (演示课件)
判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
三、运用新知，深化理解
师：幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
生：先独立思考，然后小组合作交流．
解：△ABC∽△A′B′C′.
【归纳总结】三角形相似的判定方法有：
1．三边成比例的两个三角形相似．
2．两角分别相等的两个三角形相似．
3．两边成比例且夹角相等．
4．定义法．
【教学说明】巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课“相似三角形的判定1、2”与本课知识“相似三角形的判定3”的内容系统地掌握．
四、反思小结，梳理新知
本节课你学到了什么？学生互相交流总结归纳对比记忆(全等判定与相似判定)．
第4课时　黄金分割
教学目标：
【知识与技能】
理解黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点．
【过程与方法】
找一条线段的黄金分割点．
【情感态度】
发展学生的审美观．
重点难点
【教学重点】
找一条线段的黄金分割点．
【教学难点】
黄金分割比的应用．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
观察下面3张图片，哪张构图最美？
二、合作交流，探究新知
动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算与，它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．
【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割， 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
三、运用新知，深化理解
1．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为D
A.　　　　　B.
C. D.或
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为____．
3．在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美？(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是x cm，
则＝0.618，
解得x≈4.8 cm.
故她应选择高跟鞋的高度是4.8 cm.
4．已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法如下：
(1)延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；
(2)连接AD，在AD上截取DE＝DB；
(3)在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点．
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义．使学生能更好地掌握本节知识．
拓展练习：请用尺规作一个黄金矩形．
采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是AB的黄金分割点．
任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？观看多媒体演示的内容，观察与思考、交流、讨论，解决问题．
问题解决：设AB＝2，那么在Rt△BAE中，BE＝＝＝，于是EF＝BE＝，AH＝AF＝BE－AE＝－1，BH＝AB－AH＝3－，因此＝，点H是AB的黄金分割点．
四、反思小结，梳理新知
1．什么叫做黄金分割？黄金比是多少？
2．一条线段有几个黄金分割点？
3．如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？
4．如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？