23.2.1 中心对称(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十三章　旋　转
23.2　中心对称
23.2.1　中心对称
要 点 讲 解
要点一　中心对称的定义
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
(1)中心对称是指两个图形间的位置关系.
(2)中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°.
(3)中心对称与轴对称的区别在于对称方式和变换方式不同.
要点二　中心对称的性质
1. 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2. 中心对称的两个图形是全等图形.
经典例题1　如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有(　　　)
A. 1个　　　 B. 2个　　　 C. 3个　　　 D. 4个
解析：由中心对称的两个图形是全等图形可知△ABC≌△A1B1C1，∴∠BAC＝∠B1A1C1，AC＝A1C1，故①②④正确；由对称点所连线段被对称中心所平分可知OA＝OA1，故③正确.故选D.
答案：D
点拨：中心对称的两个图形是全等图形，则对应边相等，对应角相等，周长、面积都相等.
要点三　中心对称的作图
画图步骤：(1)确定已知图形和旋转中心；(2)选定关键点；(3)分别画出关键点的对称点；(4)依次连接各关键点的对称点，得已知图形的中心对称图形.
经典例题2　如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(－1，－2)，C(－2，2).
(1)将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，则A1的坐标为________；
(2)请在图中画出△ABC关于点(0，1)成中心对称的△A2B2C2.
图1
解：(1)如图2所示，A1的坐标为(0，－2).
(2)如图2所示，△A2B2C2即为所求作的三角形.
图2
点拨：作一个图形关于某个点成中心对称的图形，只要作出原图形的关键点的对称点，然后按顺序连接对称点即可.
当 堂 检 测
1. 如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是(　　)
A. ∠ABC＝∠A′B′C′ B. ∠BOC＝∠B′A′C′
C. AB＝A′B′ D. OA＝OA′
2. 如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有 .
(1) (2) (3) (4)
3. 如果△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，那么△ABC和△A′B′C′ 相同，大小 ，即它们是 关系.
4. 如图所示，已知△ABC与△CDA关于AC的中点O成中心对称，添加一个条件　 　，使四边形ABCD为矩形.
5. 如图，已知四边形ABCD是矩形，请画图找出它的对称中心O.
　　
6. 如图所示，两个五角星关于某一点成中心对称，指出哪一点是对称中心，并指出图中点A，B，C，D的对称点.

7. 如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点A成中心对称，试判定四边形BDB′D′的形状，并说明你的理由.

当堂检测参考答案
1. B
2. (1)(2)(3)
3. 形状 相等 全等
4. ∠B＝90°(答案不唯一)
5. 解：如图所示，连接AC，BD，交点就是矩形ABCD的对称中心O.
6. 解：点A是对称中心，A，B，C，D关于A点的对称点分别是A，G，H，E.
7. 解：四边形BDB′D′是菱形.理由：∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点A成中心对称，∴∠BAD＝90°，AB＝AB′，AD＝AD′.∴四边形BDB′D′是平行四边形，DD′⊥BB′.∴四边形BDB′D′是菱形.