2.1.2 椭圆的简单几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
范围
顶点
轴长
短轴长＝______，长轴长＝______
焦点
焦距
对称性
对称轴是________，对称中心是______
离心率
2.直线与椭圆
直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切?有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交?有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?________实数解，即Δ______0.
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A． B． C． D．
4．如图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A. B．1－
C.－1 D.
5．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2 C．1 D．0
6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点。满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．
C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．
9．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．
三、解答题
10．如图，已知P是椭圆＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－ (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升
12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
13．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2，0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
2．1.2 椭圆的简单几何性质
答案
知识梳理
1.
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1
＋＝1
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c＝2
对称性
对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e＝，02.一 ＝ 二 > 没有 <
作业设计
1．B [先将椭圆方程化为标准形式：＋＝1，
其中b＝3，a＝5，c＝4.]
2．A 3.B
4．A [由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.]
5．B [∵>2，∴<4.
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．]
6．C [∵ ·＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.
又∵07.＋＝1
解析 设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，
将点(－5,4)代入得＋＝1，
又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，
解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
8.
解析 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
9．x＋2y－4＝0
解析 设弦的两个端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则，
两式相减，得＋＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kMN＝，
∴kMN＝－，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y＝－(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.
10．解 依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.
∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵011．解 (1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)
＝x1－x2，
∴d＝＝
＝
＝
＝.
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
12．B [由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．]
13．解 (1)∵a＝2，c＝，∴b＝＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得 ∴
又∵＋y＝1，∴＋2＝1
即为中点M的轨迹方程．
§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。
2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习
1、请画出一个椭圆，并找出椭圆的所有对称轴。
2、请讲出椭圆的两种标准方程。
3、在平面直角坐标系中，与（x , y）关于 y轴对称的点为（ ， ）；与（x , y）关于 x轴对称的点为（ ， ）；
与（x , y）关于 原点对称的点为（ ， ）；
为后面的椭圆性质作准备。
二、新课、
由学生观察椭圆，引导学生总结出研究椭圆就是要研究椭圆的范围、对称性；还有研究椭圆的顶点、扁平程度
阅读书本P46—P48，完成以下内容：
设椭圆方程为（＞＞0）.
⑴ 范围： ≤x≤ ， ≤x≤ ，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于 轴、 轴成轴对称，关于 中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的 .
⑶ 顶点：有四个（ ， ）、（a，0）（ ， ）、（0，b）.
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 和 ，a和b分别叫做椭圆的 和 . 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.
它的值表示椭圆的扁平程度. .e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
1、由学生探究应该研究椭圆的哪些性质，促使学生理解怎样来研究“圆锥曲线”。
2、通过阅读后填出椭圆的相关性质，进一步验证探究出结论是否成立。
三、例题练习
例1：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标
（通过标准方程不画图形，就可以研究椭圆的相关性质）
练习书本P41 2---5
*例2、补充训练1
透过简单的例题、练习，进一步加强学生对椭圆性质的掌握。
四、小结
本节课学习了椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。明确了标准方程中a,b,c的关系及几何意义；通过这些性质，结合图形，我们可以很方便的解决有关椭圆的问题。
五、作业
P42 3、4、5、9
六、补充训练
1、椭圆的离心率等于（ D ）
A B C D
2、焦点在y轴上，且a= 5 ,e =的椭圆的标准方程为( B )
A B
C D
3、P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（ B ）
A B
C D 16
4、过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（ D ）
A． B. C. D.
5、椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是
6、椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程 ()
利用一些综合性的题目提升学生运用数形结合的能力。
高中数学 2．2．2椭圆的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1
过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； ．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．
解法剖析：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
例6如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：（用《几何画板》探究）若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．
情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．
思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，
离心率e＝＝.故选B.
【答案】 B
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上，
∴0＜m＜2，a＝，c＝，
e＝＝＝.
故＝，∴m＝.
【答案】 B
3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.
【答案】 A
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.
【答案】 B
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.
C．(0,3)∪ D．(0,2)
【解析】 当焦点在x轴上时，e2＝＝∈，
解得0＜k＜3.
当焦点在y轴上时，
e2＝＝∈，
解得k＞.综上可知选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________.
【解析】 由题意得
解得
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
【解析】 若焦点在x轴上，则＝1－2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.
【答案】 或－3
8．(2018·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．
【解析】 设P点到x轴的距离为h，则
S△PF1F2＝|F1F2|h，
当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，
∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝，
∴a＝2，c＝，b2＝1，
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
10.如图2－1－3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
图2－1－3
【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°，
所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
因此|MF1|＝，|MF2|＝，
所以2c＝×，即＝，
即椭圆的离心率是.
[能力提升]
1．(2018·长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝|PF1|，则椭圆的离心率为( )
A. B.－1
C．2－ D．1－
【解析】 由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1.
【答案】 B
2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】 由题意得F(－1,0)，
设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)，
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
当x0＝2时，·取得最大值为6.
故选C.
【答案】 C
3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________.
【解析】 由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．(2018·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
课件25张PPT。2.1 椭圆2.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 通过“国家大剧院”这样一个令人关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣，充分调动学生学习的积极性和主动性.借助多媒体辅助手段，先给出一个可以直观的椭圆，创设问题情景，让学生从形的角度先对椭圆的几何性质有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后再重点从数的角度也就是方程组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思总结．
例1是探讨椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的坐标等基本的特征；例2是求满足一定条件的椭圆方程。求椭圆的标准方程时注意“二定”即定位定量 ，必要时分类讨论或者巧设巧解，克服经验主义.
通过视频介绍国家大剧院。
为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢?国家大剧院采用椭球设计10cm8cm长方形如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？由即 -a≤x≤a, -b≤y≤b说明：椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中x以焦点在X轴上的为例：范围F2F1Oxy椭圆关于y轴对称对称性F2F1Oxy椭圆关于x轴对称A2A1F2F1Oxy椭圆关于原点对称 椭圆的对称性以焦点在X轴上的为例：综上：1.椭圆是轴对称图形；
对称轴：x轴、y轴2.椭圆是中心对称图形；
对称中心：原点椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。椭圆顶点坐标为：1.椭圆与它的对称轴的四个交点—椭圆的顶点.回顾：焦点坐标(±c，0) oxyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b) （a＞b＞0）以焦点在X轴上的为例：顶点与长短轴长轴：线段A1A2；长轴长 |A1A2|=2a.短轴：线段B1B2；短轴长 |B1B2|=2b.焦 距 |F1F2|=2c.①a---长半轴长
b---短半轴长
c---半焦距③焦点必在长轴上.②a2=b2+c2，B2(0,b)B1(0,-b)bac|B2F2|=a；2.线段A1A2， B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。注意：因为a>c>0，所以0 < e <1.椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用e离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆Oxyab●c表示，即总之：离心率且0 < e <1离心率离心率(c,0)、(?c,0)(0,c)、(0,?c)(?a,0)、(0,?b)|x|? a |y|? b|x|? b |y|? a关于x轴、y轴、原点对称(?b,0)、(0,?a) 焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又如何呢？xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2( 0 < e < 1 )例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把已知方程化成标准方程于是椭圆的长轴长和短轴长分别是典例展示离心率两个焦点坐标分别为四个顶点坐标分别为基本量：a，b，c，e（共四个量）.
基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.【提升总结】解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程
2、确定焦点的位置和长轴的位置 我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以解决了！8cm10cmOx【易错提醒】忽视椭圆焦点的位置情况致误
【例2】(2014·大理高二检测)若椭圆 的
离心率为 ,则k= .
【解析】当焦点在x轴上时① ,a2=k+4,b2=4,
∴c2=k.∵e= ,∴
即 ∴当焦点在y轴上时,a2=4,b2=k+4,
∴c2=-k.由e= ,∴ ,∴ .∴k=-1.
综上可知,k= 或k=-1.
答案: 或-1【防范措施】
1.性质的转化应用
椭圆的性质是高考的重要内容,特别是与离心率有关的问题.
在利用性质解决问题时要注意题目中的条件转化.
2.隐含条件的提防
在解决椭圆方程问题时,要提防题干中的隐含条件,如本例方程中,形式上好像是k+4>4,但当k<0时,k+4<4,这时要分情况讨论.1.问:对于椭圆 与椭圆更接近圆的是 .2.椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．椭圆的标准方程为： ；椭圆的标准方程为： ；解：（1）当 为长轴端点时， ， ， （2）当 为短轴端点时， , ， 综上所述，椭圆的标准方程是 或 椭圆的简单几何性质
(a＞b＞0)(a＞b＞0)－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aA1(－a，0)、A2(a，0)B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)B1(－b，0)、B2(b，0)2b2aF1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)2cx轴和y轴(0，0)谢谢观赏！课件39张PPT。2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质自主学习 新知突破
1．通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性质．
2．了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响．
中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先被送入一个椭圆形地球同步轨迹，在第16小时时它的轨迹是：近地点200 km，远地点5 100 km，地球半径约为6 371 km.[问题1] 此时长轴长是多少？[问题2] 此时椭圆的离心率为多少？ 椭圆的简单几何性质－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2b2a(±c,0)(0，±c)坐标轴坐标原点(0,1)1．下列各点是椭圆x2＋2y2＝2的顶点的是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(1,0) D．(0,1)答案： D 答案： A 合作探究 课堂互动由方程确定椭圆的性质 已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
(1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
(2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆． (1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
(2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．由椭圆的简单几何性质求方程求椭圆的离心率3．(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
(2)已知椭圆的两个焦点为F1，F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．(2)不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示．
由AF1⊥AF2知，△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.【错因】 仅根据椭圆的离心率不能确定焦点的位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，而没有对焦点的位置进行讨论．谢谢观看！
