第三课时：矩形的性质和判定
教材分析:
课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。
教学目标：
【知识与技能】
能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。
经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
【过程与方法】
通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
【情感态度与价值观 】
通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。
教学重难点：
【教学重点】
掌握矩形的性质和判定以及证明方法．
【教学难点】
运用综合法证明矩形的性质和判定。
课前准备：
多媒体
教学过程：
提出问题，导入新课
问题1: 矩形有哪些性质？
问题2: 矩形有判定方法有哪些？
讲授新课，典例精析
例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
/
例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
/
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
/
例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值．
/
【设计意图】这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
巩固应用，当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1/
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于( )
A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cm
/
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度
/
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为__________．
/
5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．
/
【设计意图】本题在例题的基础上，运用已有知识解决问题，进一步发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想。通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。
课堂小结
说说你的收获。
说说你的困惑。
说说你的方法。
【设计意图】鼓励学生结合前面的证明畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。
作业布置
（一）习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4
（二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别
是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。
【设计意图】对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求，作业（一）要求不高，要求学生独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求作业（二）
教学反思：
1．灵活处理教材，在精不在多
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，应该视各班学生情况而定，对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。也不应加大习题量，题目在精不在多，扎实的讲解和学习比大量练习要有效果的多。把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。
分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
3、充分给学生以时间
本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
课件31张PPT。（第三课时）问题1: 矩形有哪些性质？①是轴对称图形;
②四个角都是直角;
③对角线相等且平分.导入新课①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形
③有一个角是直角的菱形问题2: 矩形有判定方法有哪些？例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.典例精析讲授新课解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE= AD=3.【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.（1）求证：四边形ADCE为矩形；分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF= AB.解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF= AB【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比
为3∶1，求 的值．典例精析(1)求证：CM＝CN；解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
由折叠知∠CNM＝∠ANM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝CM (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值．解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，
设DN＝x，则CM＝3x，
过点N作NK⊥BC于点K，
∵DC⊥BC，∴NK∥DC，
又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，
由(1)知CN＝CM＝3x，
∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，
当堂练习1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cmB3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．754．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为 ．5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形． 证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN. (2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形． 证明：
∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，∴?ADCN是矩形. 与全等三角形的结合矩形的性质与判定课堂小结与平面直角坐标系的结合折叠问题作业布置（一）习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4
（选做题）（二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。
