§2.1.2椭圆的简单几何性质2
【学情分析】：
学生对于解析几何部分“利用方程来解决曲线公共点的问题”有一定的认识，对椭圆的性质比较熟悉的情况下，进一步提高学生的运算水平。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步掌握“利用方程组求解来解决曲线公共点”的方法、步骤。
②理解求公共点的过程中△对于公共点的个数的影响。
③进一步提高学生的运算能力，培养学生的总结能力。
2、过程与方法：
通过学生研究直线与椭圆的交点问题，掌握“数形结合”的方法。
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能③
【教学难点】：
知识与技能①②
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习、引入
1、在平面直角坐标系中，求出直线与的交点坐标。（3,2）
2、引入。在平面直角坐标系中，两条曲线的公共点问题，可以转化为解方程组问题。今天，我们就重点学习直线与椭圆的公共点问题。
1、通过练习由学生回味解析几何中解决问题的方法。为引入做铺垫。
二、例题、练习
请画出一个椭圆和一条直线，你能否讲出直线与椭圆有哪几种位置关系？（没有公共点——相离；有且只有一个公共点——相切；有两个公共点——相交）
已知椭圆
（1）判断直线与椭圆是否有公共点，若有公共点，请求出公共点的坐标。
（2）判断与椭圆是否有公共点，若有公共点，请求出公共点的坐标。
（3）判断与椭圆是否有公共点，若有公共点，请求出公共点的坐标。
分析：联立椭圆与直线的方程，组成方程组，若方程组有解，则有公共点，方程组的解就是公共点的坐标。注意体会在解方程组过程中，解的个数怎样判断？
1、通过图形，先让学生对直线与椭圆的位置关系有一个直观上的认识。
2、通过例题的三种情况，使学生在求公共点的坐标过程里，体会求解过程的相同之处、不同之处。
3、尽可能地让学生自己发现在求解过程当中△的用法。
三、小节
本节课主要学习了直线与椭圆的三种位置关系：
1、相交 2、相切 3、相离
解析几何中，求直线与椭圆的公共点问题，可以转化为求解方程组的问题。若只是判断有没有公共点，有多少个公共点，可以不求出公共点的坐标，通过△来判断。
一般情况下，△>0,有两个公共点；
△=0,有且只有一个公共点；
△<0,没有公共点；
尽可能地引导学生，由学生总结出规律来。
四、作业
书本P42 8
五、补充训练
1求直线与椭圆的焦点坐标。（答略）
2、经过椭圆+=1的右焦点做倾斜角为135°的直线，与椭圆相交于A，B两点，则=
3、直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
（）
4、斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( B )
A . 2 B.
C. D.
5、已知(4， 2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，则l的方程是_____
6、，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点P、Q，且，求椭圆的离心率。
（）
提高学生解决综合题目的能力。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
C．k≤－或k≥ D．－≤k≤
【解析】 由
得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.
∵直线与椭圆有公共点．
∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，
则k≥或k≤－.
【答案】 C
3．(2018·重庆高二检测)过椭圆＋＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为( )
A. B．3
C．2 D.
【解析】 因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为，所以弦长为3.
【答案】 B
4．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，
∴中点坐标为.
【答案】 C
5．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
【解析】 椭圆右焦点为(1,0)，
设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把y＝x－1代入＋y2＝1，
得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B，
∴·＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
【解析】 ∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，
∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.
【答案】 1或2
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且P·A＝0，则|P|的最小值是________．
【解析】 易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵P·A＝0，
∴A⊥P.
∴|P|2＝|A|2－|A|2＝|A|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|A|min＝2，
∴|P|min＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
设原点到直线的距离为d，则d＝＝.
所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．
【解】 法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则kPQ＝－.
设PQ所在直线方程为y＝－＋b.
由消去y，得
13x2－8bx＋16b2－48＝0.
∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.
解得b2＜，x1＋x2＝，
设PQ中点为M(x0，y0)，则有
x0＝＝，y0＝－·＋b＝.
∵点M在直线y＝4x＋上，
∴＝4·＋，∴b＝－.
直线PQ的方程为y＝－x－，
即2x＋8y＋13＝0.
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
M(x0，y0)是PQ的中点．
则有两式相减，得
3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
∴＝－＝－kPQ.
∵kPQ＝－，∴y0＝3x0.
代入直线y＝4x＋，
得x0＝－，y0＝－，
则直线PQ的方程为y＋＝－，
即2x＋8y＋13＝0.
10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.
(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x1－x2|，
即＝|x1－x2|.
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝，
即－＝＝，
解得b2＝或b2＝－(舍去)，
又b＞0，∴b＝.
[能力提升]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 直线AB的方程是＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.因为点F的坐标为(－c,0)，所以＝，化简，得8c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
【答案】 C
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若F＝3F，则|A|＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．
由F＝3F，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×2＋2＝1.解得n2＝1，
∴|A|＝＝＝.
【答案】 A
3．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
【解析】 由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，
又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，
k＝－，则相交时k＜－.
【答案】
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，A＝2F.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的标准方程．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，
其中c＝.
联立，得
消去x，得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝
因为A＝2F，所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝，得b＝a，所以a＝，所以a＝3，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
课件19张PPT。2.1.2 椭圆的简单几何性质（2）第二章 圆锥曲线与方程 首先复习椭圆的性质，帮助学生回顾上节课所学知识，调动学生学习的积极性和主动性，激发学生探索新知的欲望．借助多媒体辅助手段，从电影放映灯泡是旋转椭圆面的一部分的生活情景入手，使学生从数学应用的角度对椭圆的几何性质进一步了解，引导学生观察、分析、解决问题，体会数学源于生活又服务于生活的思想。
例1是探讨探究椭圆的性质在实际生活中的应用；例2是研究椭圆的第二定义，由于新教材淡化圆锥曲线的第二定义，没有提及这一概念，而仅仅以题目的形式出现，在此视学生的学习程度，可以适当补充，也可以只讲题目，不提椭圆的第二定义这一概念。
b-ba-a (-a,0)、(a,0)、(0,-b)、(0,b) .A1B1复习：椭圆的几何性质1、范围： ≤ x≤ ， ≤y≤ .A2B22、顶点:3、对称性：椭圆既是 对称图形，
也是 对称图形. 轴中心4、离心率:e=ca(
ba2=b2+c2|x|≤ b,|y|≤ a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前椭圆的性质在实际生活中的应用椭圆的第二定义xyolFMHd问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？ 若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线l: 的距离的比是常数 (0因为
所以3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b),
即 所以a=5c,
所以?(2)选B.因为AF1⊥AF2，OB⊥AF1,
所以|OB|= |AF2|= |OF1|
= c.
所以|AF2|=c,又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
所以|AF1|=
所以2a=|AF1|+|AF2|=
所以(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为
AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以
在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1|
=x,则|AF2|=2x,
所以
再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x,
所以
1.基本量: a、b、c、e、
几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；
相互关系： 椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线: 对称轴（共两条线），准线焦点总在长轴上!-准线课件22张PPT。2.1.2 椭圆的简单几何性质（3）2.1 椭圆 借助多媒体辅助手段，真实地动态展现直线与椭圆的位置关系,将抽象的数学问题变为具体的图形语言,在此数形结合的思想运用的淋漓尽致．例1是探讨直线与椭圆的位置关系；例2是求给定椭圆上的动点到定直线的距离的最小值,也是利用了数形结合的思想;例3讲的是高考的一个热点内容——弦长公式问题；例4是中点弦问题。
突破两个难点问题，一是直线与椭圆的位置关系问题，一是直线与椭圆的弦长公式问题（可以推广到直线与其它圆锥曲线的弦长公式问题）.
一起来观赏流星雨奇观直线与椭圆的位置关系：相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)流星雨奇观显示：流星雨运动轨迹可以看成直线，地球运动轨迹可以看成椭圆，这就是我们今天要研究的课题： 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法:1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程
消元得到二元一次方程组
(1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点；
(2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点；
(3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点．通法直线与椭圆的位置关系例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?典例展示练习1.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( )
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点D一点,到直线 的距离最小?最小距离是多少?尝试遇到困难怎么办？作出直线l 及椭圆，观察图形，数形结合思考。一点,到直线 的距离最小?最小距离是多少?思考：最大的距离是多少？设直线与椭圆交于A(xA,yA)，B(xB,yB)两点，
当直线AB的斜率为k时．弦长公式思考：怎样证明这个公式呢？
例3.已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．例4 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.解法一：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造中点弦问题例4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造
出中点坐标和斜率．点作差 中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的
思想方法． 1.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.{2、弦中点问题的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；(韦达定理法)
（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。（点差法） 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；解方程组消去其中一元得一元二次型方程△< 0 相离△= 0 相切△> 0 相交3.弦长公式THANK YOU !课件50张PPT。第2课时 椭圆方程及性质的应用自主学习 新知突破1．进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质．
2．掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题．[问题1] 我们知道直线与圆的位置关系有相离，相切、相交，当直线与圆没有公共点时相离，当直线与圆有一个公共点时相切，当直线与圆有两个公共点时相交，那么直线与椭圆的位置关系有哪些？
[提示1] 相离、相切、相交．
[问题2] 由直线方程与圆的方程联立消去y得到关于x的方程．当Δ＝0时，直线与圆相切，当Δ>0时，直线与圆相交，当Δ<0时，直线与圆相离．那么能否利用同样的方法判断直线与椭圆的位置关系呢？
[提示2] 能．点与椭圆、直线与椭圆的位置关系两一无>＝<
直线与椭圆位置关系及判定方法的理解
(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．
(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程，由于该一元二次方程有无实数解，有几个与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0、Δ＝0还是Δ<0即可作出判断．答案： D 答案： C 3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长|AB|＝________.
∵m>0，∴5k2≥1－m恒成立，
∴1－m≤0，即m≥1.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴0∴1≤m<5.合作探究 课堂互动直线与椭圆的位置关系问题 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围． 判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则
(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；
(3)直线与椭圆相离?Δ<0.中点弦问题 方法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*)弦长问题
[思路点拨] (1)建立关于a，b的方程组求出a，b即可．
(2)设出直线方程y＝k(x＋2)，联立方程组，消元整理成关于x的一元二次方程，由根与系数的关系以及弦长问题求解．
【错因】 设直线l的方程时，没考虑直线l的斜率可能不存在．
设直线l的方程时，应分类讨论，按斜率不存在和存在两种情况设置，进而求出直线方程．谢谢观看！