§2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为
__________________________________________．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.
(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．
一、选择题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
4．双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为( )
A． B．1或3
C． D．
5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．圆
C．双曲线的一支 D．椭圆
6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题
7．设F1、F2是双曲线 －y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|＝______.
8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
9．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A，求动点A的轨迹方程．
能力提升
12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
13．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．
1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．
§2.2 双曲线
2．2.1 双曲线及其标准方程
答案
知识梳理
1．(1)|F1F2| 以F1，F2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距
2．(1)－＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)
(2)－＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c)
(3)c2＝a2＋b2
作业设计
1．B [根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，
只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]
2．B [原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]
3．A [∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)．
由题知c＝2，∴a2＋b2＝4. ①
又点(2,3)在双曲线上，∴－＝1. ②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.]
4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，
∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝.]
5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]
6．B [设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以
－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.]
7．2
解析 ∵||PF1|－|PF2||＝4，
又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2
＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.
8．－1解析 因为方程－＝1表示双曲线，
所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.
所以－19．90°
解析 设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos α，
∴cos α＝＝＝0.
∴α＝90°.
10．解 方法一 设双曲线的标准方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27
＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得
A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11．解 设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R，
代入sin B－sin C＝sin A，
得－＝·，又|BC|＝8，
所以|AC|－|AB|＝4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以
a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为－＝1 (x>2)．
12．B
[由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P(x，y)(x≥)，
∴ ·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1
＝x2＋2x－1(x≥)．
令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g()＝3＋2.
·的取值范围为[3＋2，＋∞)．]
13．解 设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，且＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（1）
【学情分析】：
1、学生已经学过椭圆的几何性质，对椭圆的几何性质有所了解；
2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程并能较熟练地求双曲线的标准方程；
本节课将通过学生的类比、归纳、探究，培养学生的观察问题、研究问题的能力。
【教学目标】：
知识与技能
1、了解双曲线的简单的几何性质
2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；
过程与方法
能从双曲线的标准方程出发，推导双曲线的几何性质；
能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；
3、培养学生运用数形结合的思想，用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力
情感态度与价值观
通过自主探究、讨论交流，培养学生良好的学习情感，激发学习数学的兴趣。
【教学重点】：
双曲线的简单几何性质的探究
【教学难点】：
双曲线的简单几何性质的探究
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一．复习、引入
1．双曲线的两种标准方程是什么？
2.椭圆有哪些几何性质？
请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率等。
展示椭圆的图形与其性质表格：附表1（右方单元格空）
通过复习引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。
二．讨论探究
1．问题：类比椭圆的性质，你认为双曲线应研究哪些性质？如何研究这些性质？
2．引导学生类比椭圆的几何性质进行讨论探究，观察、归纳双曲线的几何性质，并进行简单的证明或说明理由。
每种性质可让学生板演其推证过程或说明理由
板演双曲线的几何性质，（让学生完成附表1右方单元格内容）
教师重点讲解双曲线方程的基本量与双曲线的几何性质的关系；
利用信息技术辅助演示，重点讲解双曲线的渐近线与离心率，讲解等轴双曲线的概念；
5．讨论：椭圆与双曲线的几何性质有何异同？
1．充分运用学生学习椭圆的经验
2．通过学生观察、归纳再进一步验证，培养学生数形结合、归纳的数学思想。
3．通过与椭圆进行比较，进一步加深学生对两种曲线的几何性质的了解。
三．例题
1．例3：求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
分析：本题为巩固双曲线的几何性质
解：化为标准方程可得：
由此得：半实轴长，半虚轴长，
焦点坐标为（0,－5）、（0,5）；离心率
渐近线方程为：
由学生板演
2．练习：教科书练习1、2、3
3．例：与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2），求双曲线方程
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，
由题意，得
解得a2=，b2=4
所以双曲线的方程为－=1
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
将点（－3，2）代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝
补充例题：
P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B
双曲线的几何性质的简单应用
四、小结
1．提问：双曲线有什么几何性质？与基本量a、b、c、e之间的关系是什么？
椭圆与双曲线的几何性质有什么异同？
五、作业
教科书习题2.2 3、4、5、6
附表1：
?
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a，(2a＞|F1F2)
|MF1|-|MF2|=2a
图形
标准方程
范围
|x|≤a，|y|≤b，(x，y都有限)
|x|≥a，y∈R，(x，y都无限)
对称性
关于x轴，y轴，原点都对称
关于x轴，y轴，原点都对称
顶点
(±a，0)，(0，±b)
(±a，0)
?
椭? 圆
双 曲 线
离心率
渐近线
无
练习与测试：
1．双曲线的渐近线方程是 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
２．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.
3．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ C ）
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
4．已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
5. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ B ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是（ C ）
A． B． C． D．
7. 曲线与曲线的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
8．双曲线的焦距是 .
答案：
双曲线的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析：双曲线的渐近线方程为．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为．理由略．
例5 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是双曲线．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；另一焦点，相应于的准线：．
情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．
思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．4x±3y＝0 B．16x±9y＝0
C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0
【解析】 由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.
【答案】 A
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
【解析】 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
【答案】 A
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由已知，得b＝1，c＝，a＝＝.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
【解析】 由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
5．与曲线＋＝1共焦点，且与曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为－＝λ(λ＜0)，即－＝1.
由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－.
故所求双曲线的方程为－＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3.
【答案】 3
7．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．
【解析】 联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，
∴|AB|＝·＝2.
【答案】 2
8．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.
【解析】 由双曲线为x2－＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．
∵S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.
又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.
∴焦距2c＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．
【解】 依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，
所以＝＝.
又e＝＝，
所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1，
解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.
10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．
【解】 由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.
又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3.
[能力提升]
1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
【解析】 双曲线方程化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12【答案】 B
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
【答案】 B
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
【解析】 由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，
＝(2－x，－y)，
∴·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，
由双曲线方程得y2＝3x2－3，
代入上式得·＝4x2－x－5
＝42－，
又x≥1，所以当x＝1时，·取得最小值，且最小值为－2.
【答案】 －2
4．(2018·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解】 (1)设双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标得c＝，渐近线方程为y＝±x＝±x，结合c2＝a2＋b2得a2＝，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1，即3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0，且3－k2≠0，得－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.
又x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以＋1＝0，解得k＝±1.
课件24张PPT。2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）2.2 双曲线 通过动画展示通风塔的截面图是双曲线，培养学生善于观察，热爱生活的良好品质，同时激发了学生探索新知的欲望，充分调动学生学习的积极性和主动性. 运用类比的思想，类比椭圆的性质学习双曲线的性质,注意双曲线的性质比椭圆多一个渐进线的性质．
例1是探讨双曲线的常见性质；例2是求通风塔的形状双曲线方程；双曲线和之前学的椭圆有很多相似之处，也有很多区别，在教学过程中着重采用了双曲线和椭圆对比、对照的方式讲解.其一是便于学生理解，其二是通过对比、对照让学生记忆深刻，不易混淆.通风塔与双曲线| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）F ( ±c, 0) F(0, ± c)复习回顾 1.双曲线的定义及标准方程oYX关于X,Y轴,
原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2 ; B1B2|x|?a,|y|≤b
F1F2A1A2B2B12.椭圆的图像与性质: 2、对称性 研究双曲线 的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称的.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长;
线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.（2）4、离心率离心率。c>a>0e >1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：几何画板展示离心率与a,b,c及双曲线开口大小的关系（拖动三角形的端点使a,b,c变化）5、渐近线拖动下方中间的两个点绘制双曲线图像，体会双曲线和渐近线的关系焦点在x轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：YX1、范围：x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=（1）范围:（4）渐近线:（5）离心率:或或关于坐标
轴和
原点
都对
称解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:典例展示例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程(精确到1m).3．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )B C椭圆与双曲线的比较关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐近线F2(0,c)
F1(0,-c)的渐近线是直线y知识要点：技法要点：THANKS!课件47张PPT。2.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质自主学习 新知突破1．通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近性，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．1．类比椭圆的简单几何性质，你知道双曲线的对称轴、对称中心是什么？
[提示] 双曲线的对称轴为x轴，y轴，对称中心是原点．
2．双曲线的顶点，离心率是什么？双曲线的几何性质(±c,0)(0，±c)2cx≥a或x≤－ay≥a或y≤－a关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称(±a,0)(0，±a)2a2b答案： A 答案： D 合作探究 课堂互动已知双曲线方程求其几何性质 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程．1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．由双曲线的几何性质求标准方程
[思路点拨] (1)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
(2)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程． (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：求双曲线的离心率答案： (1)2 【错因】 忽略了条件P(a，b)在双曲线的左支上，若P在双曲线的左支上，则a－b<0，故应有a－b＝－2.谢谢观看！
