2.2.2 双曲线的简单几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长
实轴长＝______，虚轴长＝______
离心率
渐近线
2.直线与双曲线
一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0) ①
双曲线C：－＝1 (a>0，b>0) ②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．
一、选择题
1．下列曲线中离心率为的是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C．2 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.
8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．
9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．
三、解答题
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程．
能力提升
12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．
2．2.2 双曲线的简单几何性质
答案
知识梳理
1.
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.(1)一点 (2)两个 一个 没有
作业设计
1．B [∵e＝，∴e2＝＝，∴＝.]
2．A
3．C [由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，
则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]
4．C [由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
5．C [点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]
6．B [||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则≤.]
7.
解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.
8.－＝1(x>3)
解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
9.－＝1
解析 ∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为
－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，
∴λ＝－＝.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10．解 (1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，
由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝|OP|·tan＝2，
所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
11．解 方法一 (用韦达定理解决)
显然直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，
∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
方法二 (用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ>0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
12. D
[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为
y＝x，
而kBF＝－，
∴·(－)＝－1，
整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．]
13．解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－
又∵a>0，∴0∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∴0且e≠.
∴双曲线C的离心率e的取值范围是
∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵ ＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，
且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，
即a2＝.
又∵a>0，∴a＝.
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）
【学情分析】：
1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；
2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；
【教学目标】：
知识与技能
1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；
2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；
过程与方法
1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；
2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；
情感态度与价值观
通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：
双曲线的简单几何性质的运用
【教学难点】：
直线与双曲线的位置关系的求解技巧
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一．复习
1．双曲线的两种标准方程是什么？
2.双曲线的几何性质有哪些？
范围、对称性、顶点、离心率等。
通过复习，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。
二．例题、练习
1．例4：双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12，上口半径为13，下口半径为25，高55，试选择适当的坐标系，求出此双曲线方程（精确到1）
解：如图建立直角坐标系，
设双曲线方程为，C（13，y）,B(25 , y-55),
点B、C在双曲线上，
解得
所得双曲线方程为
例5：点到定点F（5,0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹
分析：一般法求点的轨迹方程，教师可向学生简单介绍双曲线的第二定义；
解：设是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹的集合就是：
则：
将上式两边平方，并化简，得：
即：
3．练习：教科书练习 5
4.补充例题：
（1）已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D. 4条
解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.
答案：D
（2）若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为
A－ B C± D±2
答案：B
解析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1d==，∴|a－b|=2又P点在右支上，则有a>b，∴a－b=2
∴|a+b|×2=1，a+b=
6．练习：已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A B
C D
答案:D解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解
双曲线的几何性质的简单应用
三、小结
1． 解与圆锥曲线有关的实际问题的步骤与方法是怎样的？
解直线与圆锥曲线的位置关系问题的一般解题思路与方法是怎样的？
五、作业
教科书习题2.2 B组1、2、3
练习与测试：
1．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.
答案：
2．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是
（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）
答案：
解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.
解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为
∴长半轴长为，短半轴长为1.
∴方程为+y2=1.
4. （1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；
（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.
解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.
（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（，2）.
5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A B
C D
答案:D解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解
6.过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
答案：２
7.已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x(0）
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），
B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1(
依题意可知方程1(有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
解得|k|(1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝(2
综上可知的最小值为2
设中心为O，正西的观测点为A，正东的观测点为B，正北的观测点为C，以O为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M在AC的中垂线上，且在以A、B为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC的中垂线： ① 双曲线： ②
解①②得 ∴巨响位于西北方向，距中心为68m。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．4x±3y＝0 B．16x±9y＝0
C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0
【解析】 由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.
【答案】 A
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
【解析】 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
【答案】 A
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由已知，得b＝1，c＝，a＝＝.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
【解析】 由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
5．与曲线＋＝1共焦点，且与曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为－＝λ(λ＜0)，即－＝1.
由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－.
故所求双曲线的方程为－＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3.
【答案】 3
7．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．
【解析】 联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，
∴|AB|＝·＝2.
【答案】 2
8．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.
【解析】 由双曲线为x2－＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．
∵S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.
又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.
∴焦距2c＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．
【解】 依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，
所以＝＝.
又e＝＝，
所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1，
解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.
10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．
【解】 由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.
又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3.
[能力提升]
1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
【解析】 双曲线方程化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12【答案】 B
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
【答案】 B
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
【解析】 由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，
＝(2－x，－y)，
∴·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，
由双曲线方程得y2＝3x2－3，
代入上式得·＝4x2－x－5
＝42－，
又x≥1，所以当x＝1时，·取得最小值，且最小值为－2.
【答案】 －2
4．(2018·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解】 (1)设双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标得c＝，渐近线方程为y＝±x＝±x，结合c2＝a2＋b2得a2＝，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1，即3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0，且3－k2≠0，得－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.
又x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以＋1＝0，解得k＝±1.
课件28张PPT。2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质（2） 本节课主要学习双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系、直线与双曲线的弦长. 通过回顾双曲线的概念、方程和性质，复习直线与椭圆的位置关系等知识，巩固所学知识，充分调动学生学习的积极性和主动性.
双曲线的第二定义作为了解内容，在实际教学中可以根据实际情况酌情处理，在普通班的教学中可以忽略不讲，直接讲例题1；例2研究了直线与双曲线的位置关系；例3讲的是高考的一个热点内容——弦长公式问题。直线与双曲线的弦长公式问题（可以推广到直线与其它圆锥曲线的弦长公式问题）.
关于x轴、y轴、原点对称F1(-c,0) F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（- a，0），A2（a，0）无图形方程范围对称性顶点离心率渐进线关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线F2(0,c)
F1(0,-c)1、“共渐近线”的双曲线λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表
示为（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方
程表示为 引例 点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线
的距离比是常数 (c>a>0)，求点M的轨迹.解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 设c2－a2 =b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:点M的轨迹也包括双曲线的左支.双曲线的第二定义 双曲线的第二定义 平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c, 0)的右准线.类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c, 0)的左准线.点M到左焦点与左准线的距离之比
也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？相应于上焦点F(c, 0)的是上准线相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线解：例1.点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹.xy..FOM.典例展示将上式两边平方，并化简，得：双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；
(3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；
(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的不同．椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法?<0?=0?>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交 直线与双曲线的位置关系1) 位置关系种类种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的
渐进线平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,②相切一点: △=0
③相 离: △＜0 注:①相交两点: △＞0
同侧： ＞0
异侧: ＜0
一点: 直线与渐进线平行
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k
的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.k=±1，或 k= ± ；-1＜k＜1 ；k＜ 或k＞ ； ＜k＜ ；1.过点P(1,1)与双曲线 只有一个变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的直线共有_______条.（1，1）。弦长问题分析:求弦长问题有两种方法:
法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为【提升总结】这里我们也可以利用弦长公式求解:弦长公式：或算一算，看结果一样吗？解析：因为F1的坐标是(-3,0),所以你能求出△AF1B的周长吗？92．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．C4．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，1 .位置判定
2.弦长公式
3.中点问题
4.垂直与对称
5.设而不求(韦达定理、点差法)课件50张PPT。第2课时 双曲线方程及性质的应用自主学习 新知突破1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题．
2．掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力．舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°，且与B相距4千米处，它们准备围捕海洋动物．某时刻A发现动物信号.4秒后B，C同时发现这种信号，设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1千米/秒，确定海洋动物的位置．直线与双曲线的位置关系及判定2个或1个1个m≠0且Δ＝00个m≠0且Δ<0弦长公式答案： B 答案： D 3．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围为________．答案： a≥1 合作探究 课堂互动直线与双曲线的位置关系问题 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；
(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．
[思路点拨] 直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解，也就是消元后获得的一元二次方程有两解．两交点在同一支上，则说明两个交点的横坐标同号，即一元二次方程有两个同号根，两交点分别在两支上，则说明两个交点的横坐标异号，即一元二次方程有两个异号根． 直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题：
直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点．但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：
(1)直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；
(2)直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分．故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．
特别提醒：不能单纯使用Δ来判定直线与双曲线的位置关系，要看二次项系数能否为零．1．例题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k的值．中点弦 已知双曲线方程为 2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由． (1)与弦中点有关的问题：
①中点弦所在直线方程问题，如本例；
②弦中点轨迹问题．
(2)如何处理弦中点问题？
①第(1)问，用待定系数法．设直线方程，与双曲线方程联立解方程组，化为一元二次方程后，据根与系数关系(不须求出方程的根)，结合中点坐标公式，求出待定系数，这也是解决直线与曲线位置的关系问题常用方法；弦长问题 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
[思路点拨] 解答本题可先求出直线l的方程，再与双曲线联立，消元，利用方程的判别式和弦长公式求解．试根据直线l：y＝k(x－1)与双曲线x2－y2＝4的位置关系，讨论实数k的取值范围．
【错因】 二元方程组化为一元方程后，没有讨论x2项的系数1－k2＝0和1－k2≠0两种情况，导致所求范围不完全．
通过解方程组讨论直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系时，一定要讨论x2项的系数可能为零的情况，关注其对整个题目的影响．谢谢观看！