第一章 章末总结
知识点一 四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1 判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0
(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p：－2例3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
例5 设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x，x>0；
(4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
例如当x＝－，＝<3.
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b?a·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0?a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b?a·b≠0也为真．
例2 解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分条件．
例3 解 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴A?B，∴或，
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
例4 解 (1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p：由ax2－x＋a>0恒成立得
，∴a>2.
q：由<1＋ax对一切正实数均成立，
令t＝>1，则x＝，
∴t<1＋a·，
∴2(t－1)1均成立．
∴2，∴a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
第一章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列语句中是命题的是( )
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗？
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若p：a∈R，|a|<1，q：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是xA．“p或q”为真命题
B．“p且q”为假命题
C．“綈p且q”为真命题
D．“綈p或綈q”为真命题
10．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
11．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，2] D．(－∞，－2)
12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件．
12．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为
______________________________________________________________________.
14．下列四个命题中
①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；
③函数y＝的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正方形是矩形又是菱形；
(2)同弧所对的圆周角不相等；
(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．
18．(12分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
19．(12分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
21.(12分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
单元检测卷答案解析单元检测卷答案解析
第一章 常用逻辑用语(A)
答案
1．A
2．A [因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]
3．C
4．A [“x∈M，或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以．]
5．C [①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]
6．B [当A＝170°时，sin 170°＝sin 10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin A>?30°30°，即“回得来”．]
7．A [a∈R，|a|<1?a－2<0，充分成立，反之不成立．]
8．A [綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：5x－6≤x2，
即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.
∴綈p?綈q，但綈q綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]
9．A [命题p：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时，由|x|<1，得－110．A [对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．]
11．B [注意二次项系数为零也可以．]
12．D [∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]
13．必要不充分
解析 q?p，pq.
14．[－3,0]
解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，由得－3≤a<0；
∴－3≤a≤0.
15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形
解析 本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
16．①②③
解析 ①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，
即y＝cos 2kx，T＝＝π，k＝±1.
②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝；
③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，
ymin＝＋＝.
17．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．
(3)如果一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
18．解 方法一 (直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)
＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0.
即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
方法二 (先判断原命题的真假)
∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥>1，∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．
方法三 (利用集合的包含关系求解)
命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．
命题q：a≥1.
∴p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝，
q：B＝{a|a≥1}．
∵A?B，∴“若p，则q”为真，
∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．
即原命题的逆否命题为真．
19．解 綈p：>2，解得x<－2，或x>10，
A＝{x|x<－2，或x>10}．
綈q：x2－2x＋1－m2>0，
解得x<1－m，或x>1＋m，
B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．
∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴B?A，
即且等号不能同时成立，?m≥9，
∴m≥9.
20．解 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根?
Δ＝?2k－1?2－4k2≥0
－
f?1?>0)
即k<－2.
所以其充要条件为k<－2.
21．解 对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立?a＝0或?0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>，
∴综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
22．解 假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，
x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则
，
即得－∴所求实数a的范围是a≤－或a≥－1.
第一章 章末检测 (B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a＝b D．a2＋b2＝0
2．若“a≥b?c>d”和“aA．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
3．在下列结论中，正确的是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则( )
A．p真q真 B．p假q真
C．p真q假 D．p假q假
6．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是( )
A．－C．－38．“x＝2kπ＋ (k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0
10．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
11．下列命题中为全称命题的是( )
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
12．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“?x∈N，x3>x”的否定是“?x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．下列命题中________为真命题．(填序号)
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A?B”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是
__________________________________，这是__________命题．
15．若“?x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
16．给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③?x∈Z，x3<1；
④?x∈Q，x2＝3.
其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．
(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．
19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于?x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．
21.(12分)下列三个不等式：
①2－x2＋ax－>1；
②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；
③a>x2＋.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
第一章 常用逻辑用语(B)
答案
1．D [若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]
2．B [由a≥b?c>d可得c≤d?a3．B
4．B [∵a＝1且b＝2?a＋b＝3，
∴a＋b≠3?a≠1或b≠2.]
5．B [由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]
6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p?q，但x＝100，y＝0.1满足q：x＋y>2，xy>1，但不满足q，故选项为A.]
7．D [由2x2－5x－3<0，解得－8．A [tan＝tan ＝1，所以充分；
但反之不成立，如tan ＝1.]
9．C
10．A [举例：a＝1.2，b＝0.3，
则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]
11．C
12．D [∵“负数的平方是正数”即为?x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“?x∈N，x3>x”的否定为“?x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝sin 2ax，当最小正周期T＝π时，有＝π，∴|a|＝1a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)sin 2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]
13．②④
解析 ①A∩B＝A?A?B但不能得出A?B，
∴①不正确；
②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假
15．(－∞，－1)
解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.
16．①③
17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
18．解 (1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．
∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．
(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．
19．证明 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
20．解 |f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]． ①
当x＝0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需
?－2≤a≤0，
又a≠0，故－2≤a<0.
综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．
21．解 对于①，2－x2＋ax－>1，即－x2＋ax－>0，故x2－ax＋<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．
则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．
所以，不等式a>x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是
{a|a<－2或a>2}．
22．解 ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
当a>0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1>0有解；
当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.
又命题q为假命题，∴a≤－1.
综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.
章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．p∨q形式 D．p∧q形式
【解析】 此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．
【答案】 A
2．(2018·湖南模拟)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
【答案】 C
3．(2018·湖北高考)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x
【解析】 全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．
【答案】 D
4．全称命题“?x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
【解析】 易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.
【答案】 A
5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧?q B．?p∧q
C．?p∧?q D．p∧q
【解析】 命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题?q为真命题，所以p∧?q为真命题，故选A.
【答案】 A
6．(2018·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
【解析】 命题是省略量词的全称命题．易知选D.
【答案】 D
7．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】 从原命题的真假入手，由于＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.
【答案】 A
8．给定两个命题p，q.若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 q??p等价于p??q，?pDq等价于?qDp.故p是?q的充分而不必要条件．
【答案】 A
9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＞1
【解析】 一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根?＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一个充分不必要条件．
【答案】 C
10．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( )
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
【解析】 ∵P(2,3)∈A∩(?UB)，
∴满足故
【答案】 A
11．下列命题中为真命题的是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】 对于?x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】 D
12．下列命题中真命题的个数为( )
①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；
②设α，β∈，则“α<β ”是“tan α③命题“自然数是整数”是真命题；
④命题“?x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“?x0∈R，x＋x0＋1<0.”
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x∈ 时，正切函数y＝tan x是增函数，所以当α，β∈时，α<β?tan α【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则?p是?q的________条件．
【解析】 ?p：≤x≤2.
?q：－1≤x≤2.?p??q，但?qD?p.
∴?p是?q的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 若对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－160，则Δ＝4a2－4<0，即－10且x2－2ax＋1>0”是真命题时，有a∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，故a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．
其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．
【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．
【答案】 ①③
16．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若?p是?q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
∵?p是?q的充分条件(即?p??q)，∴q?p，
∴∴－1≤a≤6.
【答案】 [－1,6]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：
(1)36是6与18的倍数；
(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；
(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．
【解】 (1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．
(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.
(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)全等三角形一定相似；
(2)末位数字是零的自然数能被5整除．
【解】 (1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；
否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；
否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；
逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数．
【解】 (1)所有自然数的平方是正数，假命题；
否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；
否定：?x0∈R,5x0－12≠0，真命题．
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；
否定：?x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．
(4)有些质数不是奇数，真命题；
否定：所有的质数都是奇数，假命题．
20．(本小题满分12分)(2018·汕头高二检测)设p：“?x0∈R，x－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】 由x－ax0＋1＝0有实根，
得Δ＝a2－4≥0?a≥2或a≤－2.
因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.
由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.
因此命题q为真命题的范围是a≥0.
根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2这样得到二者均为假命题的范围就是?－221．(本小题满分12分)(2018·惠州高二检测)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解】 (1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)·(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，
所以q为真时，实数x的取值范围是2≤x≤3.
若p∧q为真，则2≤x<3，所以实数x的取值范围是[2,3)．
(2)设A＝{x|aB＝{x|2≤x≤3}，
由题意可知q是p的充分不必要条件，则B?A，
所以?122．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，试求实数a的取值范围.
【解】 由f(x)＝ax2＋x是二次函数，知a≠0.
|f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]，①
当x＝0，a≠0时，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－，
当x∈(0,1]时恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，所以－t2－t≤a≤t2－t.
令f(t)＝－t2－t＝－2＋，t∈[1，＋∞)，
所以f(t)max＝－2.
令g(t)＝t2－t＝2－，t∈[1，＋∞)，
所以g(t)min＝0.所以只需－2≤a≤0.
综上所述，实数a的取值范围是[－2,0)．
课件42张PPT。知能整合提升
1．把握命题概念，准确判断真假
(1)命题是能够判断真假的陈述句，判断为真的是真命题，判断为假的是假命题．一个命题由条件和结论两部分构成，常写成“若p，则q”形式．
(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推出结论；②间接判断，判断其逆否命题的真假(互为逆否的两个命题同真假)．2．明晰四种命题及其关系
一般地，原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的相互关系如下：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(2)判断方法：
①定义法： 6．理解全称量词与存在量词，掌握否定方法
(1)确定命题中所含量词的意义，是全称命题和特称命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．
(2)可以通过“举反例”否定一个全称命题，同样也可以举一例证明一个特称命题．而肯定全称命题或否定特称命题都需要推理判断．
(3)含有一个量词的命题的否定：将全称量词改为存在量词或将存在量词改为全称量词，并否定结论．
注意：一般命题的否定，直接否定结论即可．热点考点例析四种命题及其关系【点拨】 四种命题之间的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，它们具有相同的真假性，很多问题，可以利用等价命题的等价关系进行转换，从而达到化难为易的目的，同时也体现了等价转化的思想． 判断下列命题的真假：
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若一个整数的末位是0，则它可以被5整除”及其逆命题和否命题；
(3)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(4)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x<4且x2＋5x－24＝0”的否定．
[思维点击] 借助原命题与其逆否命题真假性相同这一结论可以帮助判断有些难以判断的原命题的真假．同样，借助“否命题与逆命题”的真假性相同只需判断其中一个较易确定真假的命题，则可得到另一个命题的真假．要注意区别命题的否定与否命题这两个不同的概念． [规范解答] (1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题．
(2)原命题为真命题．其逆命题为：如果一个整数可以被5整除，那么它的末位数是0，是假命题，由于逆命题为假命题，所以否命题也是假命题．
(3)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真．
(4)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．1．判断下列命题的真假：
(1)“若x∈(A∪B)，则x∈B”的逆命题与逆否命题；
(2)“若0(3)a，b为非零向量，“如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．【点拨】 命题的条件与结论的四种关系及判断方法：
从逻辑关系上，命题的条件p和结论q之间有四种关系，即充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，判断条件p与结论q之间的上述关系，常用方法有：定义法，互为逆否命题的两命题同真同假，利用集合之间的包含关系进行判断．
充分条件与必要条件是高考考查的重点内容，是每年高考的必考内容，一般以选择题为主．
特别提醒：充要条件的证明既要证明充分性，也要证明必要性，二者缺一不可．充分条件与必要条件2．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“A?B”是“a＞5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案： B 【点拨】 1.全称命题与特称命题
含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假时，要有严格的逻辑证明．全称命题与特称命题
2．含有一个量词的命题的否定
这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要以考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
特别提醒：对含有一个量词的命题进行否定时，既要改变量词，也要否定结论． 已知命题p：?x∈R，不等式x2＋2ax＋4≤0是假命题，命题q：函数f(x)＝－(7－3a)x是减函数，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
[思维点击] 由p∧q为假，p∨q为真知p，q一真一假，因此需求p，q中a的范围后对p，q进行分类讨论． 解析： p是真命题，q是假命题．故选D. 答案： D 1．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
答案： A2．若p：|x|>2，q：x>2，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案： B
3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)答案： C
4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且 c≠d，则a＋c≠b＋d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析： 原命题是假命题，如：3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2；逆命题为：“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4≠d＝5；由原命题与其逆否命题等价知，其否命题和逆否命题均为假命题，故选A.
答案： A
5．在空间中：
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；
③若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
以上命题中逆命题为真命题的是________．
解析： ①的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．显然正方形的四个顶点中任何三点都不共线但四点共面，故其不正确；②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故②的逆命题为真命题；③的逆命题为：若两个角相等，则这两个角的两边分别平行，是假命题．
答案： ②
6．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析： 方程x2－4x＋n＝0即为n＝x(4－x)，由n∈N＋，且x∈Z，得0答案： 3或47．写出下列命题的否定：
(1)p：对任意x∈R，x2＋2x＋2>0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．
解析： (1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)任何三角形都不是等边三角形；
(3)对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分．
8．已知命题p：对?x∈R，函数y＝lg(2x－m＋1)有意义．
命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是增函数．
(1)写出命题p的否定；
(2)若“p∧q”为真，求实数m的取值范围．解析： (1)?p，?x∈R，函数y＝lg(2x－m＋1)无意义．
(2)若“p∧q”为真，则p真q真．
当p为真时，?x∈R，y＝lg(2x－m＋1)有意义．
∴?x∈R,2x－m＋1>0恒成立，
∴m<2x＋1.∵2x＋1>1，∴m≤1.
当q为真时，5－2m>1，∴m<2.
综上可得，若“p∧q”为真，则m≤1，
即m的取值范围是(－∞，1]．谢谢观看！