第二课时：正方形的判定
教材分析：
教材基于学生对特殊平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：掌握正方形判定定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系，但这仅仅是这堂课外显的近期目标。
本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎推理教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
教学目标：
【知识与技能】
1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。
3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
【过程与方法】
1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。
【情感态度与价值观】
通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。
教学重难点：
【教学重点】
重点：掌握正方形的性质和判定，以及证明
【教学难点】
难点：运用综合法证明
课前准备：
多媒体，矩形纸片
教学过程：
导入新课
问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？
问题2：你是如何判断是矩形、菱形？
【设计意图】通过这个活动，首先是学生能够主动地对正方形的相关知识有一个系统的回顾和认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习，激发学生对本节知识的学习兴趣。
二、讲授新课
活动1.
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD.
问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？
活动2.想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
板书 定理
1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形
【设计意图】因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。
三、典例精析
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
【设计意图】复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
延伸拓展
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
【设计意图】由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫，并把学习的主动权让给学生，目的在于激发学生的学习兴趣，使学生真正成为学习的主人；同时让学生再一次体会由一般到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法，进一步提高学生的合作交流和数学表达能力。
四、巩固应用
当堂练习：
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分?ABC , P是BD上一点,过点P作PM?AD , PN?CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证：?ADB=?CDB;
(2) 若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
【设计意图】通过3道练习题进一步巩固正方形的判定定理，提高学生的逻辑推理能力。
课堂小结
活动内容：
1．本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？
2．通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？
【设计意图】培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，总结研究数学问题的一般方法。
作业布置
必做：1.习题（1、3）
2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。
选做：习题（5）
【设计意图】教师根据学生掌握水平的不同把作业分层，必做题是学生必须掌握的题目，对于巩固本节课的基础知识能起到较好的作用，选做题是对于学有余力的学生准备的，让他们在掌握基础的同时向更高的目标迈进。
教学反思：
1.要创造性的使用教材
在新教材中，课本只是一个载体，因此，本节课教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验，教学设计不拘泥于教材，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念，水到渠成，效果非常好。
2.充分利用现代技术，提高课堂容量
本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。
3.注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
课件37张PPT。（第二课时）问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.O导入新课问题2：你是如何判断是矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义三个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD.AMNBDC问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？讲授新课想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？（1）（2）（3）（4）菱形问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定的两条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角对角线相等一组邻边相等对角线垂直例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.典例精析FABECD解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；45°45°FABECD证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC , DE⊥BC ,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.
∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH总结归纳常见中点四边形比较1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形DC当堂练习3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分?ABC , P是BD上一点,过点P作PM?AD , PN?CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证：?ADB=?CDB;
(2) 若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (AAS).
∴∠ADB=∠CDB.12（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.有一个角是90°
（或对角线互相垂直）有一对邻边相等
（或对角线相等） 平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）有一个角是90°
（或对角线互相垂直）有一对邻边相等
（或对角线相等） 课堂小结课后作业必做：1.习题（1、3）
2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。
选做：习题（5）本课时编写：合肥市第三十八中学 徐晶老师（小结与复习）平行且相等平行
且四边相等平行
且四边相等四个角
都是直角对角相等
邻角互补四个角
都是直角互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形
轴对称图形中心对称图形
轴对称图形中心对称图形
轴对称图形互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角一、菱形、矩形、正方形的性质要点梳理①定义：有一外角是直角的平行四边形
②三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形①定义：一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6. 考点讲练证明：在△AOB中.
∵AB= , OA=2,OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).1. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.22.已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、
AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形. ACBEDF证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.13.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.ABCDEF解：四边形ABCD是菱形.
过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F.
S 四边形ABCD=AD · CF =AB ·CE .
由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形.
∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形.例2：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.ABCDO∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.4.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =5.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.DABCEO解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.例3：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.ABDFECM6. 如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.FABECD解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形.45°45°FABECD证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.（有一个角是直角的菱形是正方形）有一个角是90°
（或对角线互相垂直）有一对邻边相等
（或对角线相等） 平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直且相等）有一个角是90°
（或对角线互相垂直）有一对邻边相等
（或对角线相等） 课堂小结谢 谢
