§2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．
(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．－
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是( )
A．a＋ B．a－
C．a＋p D．a－p
4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于( )
A． B． C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题
7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．
能力提升
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1 C．2 D．4
13．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．
2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
§2.3 抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
答案
知识梳理
1．相等 焦点 准线
2．(1)标准 (2)(，0) x＝－ 向右
(3)(－，0) x＝ 向左
(4)(0，) y＝－ 向上
(5)(0，－) y＝ 向下
作业设计
1．B [因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.]
2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
3．B [由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.]
4．C [容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]
5．B [∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得
y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]
6．A [如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，
得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，
则x1＋x2＝.
因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.
不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，
可得k2＝，
所以x1＝2.
＝＝＝
＝＝.]
7．y＝3
解析 抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
8．y＝4x2
9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，
又A(－1,0)，PA⊥PQ，－*6]＝(－x，－2－y)，·＝0，
即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，
也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.
∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，
由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
10．解 设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，
则焦点F，由题意，
得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
11．解 设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)． ①
直线方程变形为y＝2x＋1， ②
设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝ ＝.
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
方法二 作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
所以－＝－1，p＝2.]
13．解 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式
，
∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，
∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3，
∴p＝6，抛物线方程为y2＝12x.
当x<0时，|PM|＝3－x，
动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，
当x＝0时，不符合题意，舍去．
∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x<0)．
§2.3.1 抛物线及其标准方程
【学情分析】：
学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。
（2）过程与方法：
在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。
（3）情感、态度与价值观：
培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
【教学重点】：
抛物线的定义和抛物线的标准方程。
【教学难点】：
（1）抛物线标准方程的推导；
（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入抛物线的定义
1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹.
2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹.
3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是 椭圆 ，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？
抛物线的定义：平面内与一个 定点 和一条 定直线l 的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的 准线 ．
学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。
二、建立抛物线的标准方程
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．
设,则焦点F的坐标为（，0），准线的方程为．
设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合
．
∵；d=．
∴．
化简得：．
注：叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的 正半轴，坐标是，准线方程是．
探究：
抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。
根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。
通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
三、例题讲解
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程
(1)过点(-3,2)； (2)焦点在直线x-2y-4=0。
分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。
解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得或。????
∴所求的抛物线方程为
??? （2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.
∴抛物线的焦点为F(0,-2).
设抛物线方程为x2=2py。则由得,
∴所求的抛物线方程为x2=-8y
或令y=0由x-2y-4=0得x=4,
∴抛物线焦点为Ｆ(4,0)?.
设抛物线方程为y2=2px。则由得,
∴所求的抛物线方程为y2=16x
?? 注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。
例2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。? (1)y2=6x；?? (2)y=ax2.
分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。
解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是
（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为
??
例3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。
分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。
为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。
解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px (p>0),则焦点，由题设可得，解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为
（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为
四、巩固练习
1．选择：
⑴若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦点
的距离是10, 则焦点到准线的距离是 (B )
A、4 B、8 C、16 D、32
⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 (B)
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时，M点的坐标是 ( C )
A. B. C. D.
2．填空：
⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；
⑵ 抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a>），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是．
四、巩固练习
3． (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
线的标准方程是x2=－8y．
4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。
? 又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。
???????????
? 解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且
? ∴所求的抛物线方程为y2=16x.
围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。
五、课后练习
1. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
(A) (B) (C) (D)1
2. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）
(A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条
(C) 有无穷多条 (D)不存在
3. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4 .（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)
(A) (B) (C) (D) 0
5．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y2＝2px或x2＝－2py．（如图）
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是
y2＝x或x2＝－y
6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．
根据学生情况分层布置作业。
练习与测试：（说明：题目6个（以上）——其中基础题4个，难题2个；每个题目应该附有详细解答）
1．选择题
（1）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（ D ）
(A)
(B)
(C)
(D)
（2）抛物线（m≠0）的焦点坐标是（ B ）
(A) （0，）或（0，）
(B) （0，）
(C) （0，）或（0，）
(D) （0，）
（3）焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（ C ）
(A) y2＝16x或x2＝16y
(B) y2＝16x或x2＝12y
(C) x2＝－12y或y2＝16x
(D) x2＝16y或y2＝－12x
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）过点（－3，4）
（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16
解：（1）或
（2）y2＝±16x
3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．
解：x2＝32y
4．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
? 分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。
? 解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，
则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，
则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。
? 变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
? （2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
? 解：（1）当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。
? （2）本题可分外切时，当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。内切时当x≥0时，y=0(x≠a);当x<0时，y2=4ax。
抛物线教案 新人教A版选修1-1
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.
通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义．
（2） 抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案
方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)
以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
化简得：y2=2px+p2(p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y2=2px(p＞0)．
例题讲解与引申
教材中选取了2个例题，例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例2是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。
教学反思：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．抛物线的焦点是，则其标准方程为( )
A．x2＝－y B．x2＝y
C．y2＝x D．y2＝－x
【解析】 易知－＝－，∴p＝，焦点在x轴上，开口向左，其方程应为y2＝－x.
【答案】 D
2．(2018·安徽高考)抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
【解析】 ∵y＝x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.
【答案】 A
3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
【答案】 C
4．若抛物线y2＝ax的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )
A．(－2,0) B．(2,0)
C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0)
【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为＝4，解得a＝±8.当a＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.
【答案】 C
5．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.
【答案】 D
二、填空题
6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝________.
【解析】 由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
【答案】 2
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程是________．
【解析】 由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号 )
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
三、解答题
9．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
【解】 由抛物线定义，焦点为F，则准线为x＝.由题意，设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10.∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
10．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
【解】 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切．
∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
∴|MC|＝d＋1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
[能力提升]
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
【答案】 B
2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是( )
A. B.
C．2 D.－1
【解析】 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
【答案】 D
3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－3－2
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.
∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】 2
4．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．
【解】 设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.
由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.
又M为AB中点，由梯形中位线定理，得
|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，
则x≥－＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.
课件22张PPT。2.4.1 抛物线及其标准方程2.4 抛物线 本节课主要学习抛物线的定义与方程. 通过动画展示生活中的抛物线，培养学生善于观察，热爱生活的良好品质，同时激发了学生探索新知的欲望，充分调动学生学习的积极性和主动性.
运用类比的思想，类比椭圆和双曲线标准方程的建立，学习抛物线的方程．例1和例2是探讨抛物线的焦点坐标及标准方程的求法。例2是求通风塔的形状双曲线方程, 帮助学生理解。
演示现实中抛物线的形成抛物线的生活实例飞机投弹生活中存在着各种形式的抛物线 如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，过点H作MH⊥L,线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M 的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？抛物线的定义几何画板演示抛物线的标准方程动画演示抛物线的标准方程在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线.|MF|=dd 为 M 到 l 的距离准线焦点d抛物线的定义:那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,
其标准方程形式怎样?即：若| MF |=d,则点M的轨迹是抛物线。.FM.抛物线的标准方程解：设|FK|=p(p>0),M(x,y)由抛物线定义知：|MF|=d即： 把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离 在学习椭圆和双曲线的时候，由于在坐标平面内的焦点位置不同，导致方程不同。同样抛物线焦点位置不同，方程也会有所不同。总结：y2=-2px
(p>0)x2=2py
(p>0)y2=2px
(p>0)x2=-2py
(p>0)P的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式.四种抛物线的对比思考： 如何通过方程确定抛物线的焦点位置和开口方向？例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；解: ∵2P=6,∴P=3
∴抛物线的焦点坐标是（ ，0）
准线方程是x=
练习1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）x2= y
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0（5，0）x= -5（0，-2）y=2
你能说明二次函数 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。 当a>0时与当a<0时，结论都为：思考:例2.已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。解：因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，
且 =2，p=4.
所以，所求抛物线的标准方程是 1.抛物线 上一点M到焦点距离是 ，则点M到准线的距离是_______,点M的横坐标是______________;
2.抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是_________________.变式训练例3：一种卫星接收天线如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。 即
所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3,0)
(2)准线方程是
(3)焦点到准线的距离是2.3.抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法2.抛物线的四种标准方程与其焦点、准线方程4.注重数形结合的思想 1.抛物线的定义5.注重分类讨论的思想课件42张PPT。2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程自主学习 新知突破1．经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．会求简单的抛物线方程．如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
[问题1] 画出的曲线是什么形状？
[提示1] 抛物线．
[问题2] 点D在移动过程中，满足什么条件？
[提示2] 点D到直线EF的距离|DA|等于DC.
[问题3] 到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹方程是什么？
[提示3] 抛物线．
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)_________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．抛物线的定义距离相等焦点准线抛物线的标准方程抛物线的标准方程及其形式特点
(1)抛物线的标准方程有四种类型，方程中均只含有一个参数p，称为焦参数，它是抛物线的定形条件，其几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.
(2)抛物线的标准方程的形式特点在于：等号左边是某变量的完全平方，等号右边是另一变量的一次项，其系数为±2p，这种形式和它的位置特征相对应．
当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向上，为负时开口向下．答案： B 2．抛物线x2＝－8y的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(4,0) D．(－4,0)答案： B
3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为________．
解析： 设P(xp，yp)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xp＝8，yp＝±8.
答案： (8，±8)合作探究 课堂互动求抛物线的焦点坐标及准线方程 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
[思路点拨] (1)是标准形式，可直接求出焦点坐标和准线方程；
(2)(3)需先将方程化为标准形式，再对应写出焦点坐标和准线方程． 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数为负，焦点在负半轴．1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程．
(1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.求抛物线的标准方程 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[思路点拨] (1)过点M(－6,6)，抛物线的开口方向有几种情况？
(2)由焦点在坐标轴上，又在直线l：3x－2y－6＝0上，得焦点可能有几种情况？解析： (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3，
∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为
x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. 求抛物线标准方程的方法
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论． 2．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.抛物线的实际应用 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． (1)本题是与抛物线有关的应用题，解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的坐标时，要细心，如A，B两点等．(2)把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题，是中学生必须具备的能力．解析： 以拱桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，求该抛物线的方程．
【错解】 由题意知p＝2，
∴2p＝4.
故所求抛物线的方程为y2＝±4x.
【错因】 只考虑焦点在x轴上的情形，而遗漏了焦点在y轴上的情形，本题中，抛物线的四种形式都有可能．
【正解】 由题意知p＝2，∴2p＝4.
故所求抛物线方程为y2＝±4x或x2＝±4y. 谢谢观看！
