§2.3.２抛物线的几何性质（２）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：
抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
回顾抛物线的几何性质：
将基本公式用填空的形式巩固。
二、知识准备
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
或
二、例题讲解
例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，
又|OA|＝|OB|，所以
即
∵ ，∴ ．
由此可得，即线段AB关于x轴对称．
因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以
所以，
例2．过抛物线y＝的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．
解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）
⑴ 当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）
⑵ 当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0
则x1+x2= －4k； x1x2= －4；
∴＝
∴=＝4（1+k2）＝8
∴k＝±1
∴α＝45°或135°
圆锥曲线的弦长求法
二、例题讲解
例3．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．
解：设与抛物线交于
由弦长公式
|AB|===3
则有
由
从而由于p>0，解得
圆锥曲线的中点弦问题
三、巩固练习
1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。
（答案：边长为8）
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程
分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，
故可设圆的方程为：，
又∵ 圆过点，
∴ 所求圆的方程为
3．已知抛物线,过点(4, 1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为
解析: 设直线与抛物线交点为 则
,
4．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程
（答案：）
5．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
（答案：或）
四、课后练习
1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知，
抛物线焦点的坐标为F(1，0)，
所以直线AB的方程为y=x-1①
与y2=4x②联立，解得：
将x1、x2的值代入方程①中，得
即A、B的坐标分别为
、
2．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程
（答案：）
3. 已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程
（答案：）
4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程
答案：（1）； ；
（2）直线过定点
（3）点的轨迹方程为
5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）
练习与测试：
1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）
(A) x2＝8y (B) x2＝4y (C) x2＝2y (D)
2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，±）
3． 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( )
A. 4 B. 2 C. D.
4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
5．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
6．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．
7．已知抛物线与直线相交于A、B 两点 ,
①求证;;
②当的面积等于时,求的值.
测试题答案：
1．A 2．D 3．A 4．x2＝±8y 5． 6．
7．解析(证明):设 ;
,由A,N,B共线
, 又
--------------------------------------------------------------③
② 由得
抛物线的几何性质教案 新人教A版选修1-1
复习与引入过程
1．抛物线的定义是什么？
请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”
2．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质
（2）新课讲授过程
（i）抛物线的几何性质
通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了
（ii）例题讲解与引申
．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．
证明：
(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．
或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
【解析】 由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．
【答案】 B
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
【解析】 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故选B.
【答案】 B
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】 由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A.
【答案】 A
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y＝2px1，①
y＝2px2，②
由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
【答案】 B
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
【解析】 设A(x，y)，则y2＝4x，①
O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，O·A＝x－x2－y2＝－4，②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
【解析】 可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
【答案】
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
【解析】 设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，y＋y最小为32.
【答案】 32
8．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
【解析】 设过抛物线焦点的直线为y＝k，
联立得
整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，
代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0
得12x2－13x＋3＝0，
解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，
故|AF|＝x1＋＝.
【答案】
三、解答题
9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，
则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，
由得
即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
若直线的斜率存在，
则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得：
k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，
当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点．
当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0?k＝.此时，直线方程为y＝x＋1.
可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．
故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
【解】 由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标为，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
[能力提升]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 ∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，
即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
【答案】 C
2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若||＝||，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是( )
A．x＝p B．x＝p
C．x＝p D．x＝3p
【解析】 ∵||＝|O|，
∴A，B关于x轴对称．
设A(x0，)，B(x0，－)．
∵AF⊥OB，F，
∴·＝－1，
∴x0＝p.
【答案】 C
3．(2018·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．已知直线l：y＝x＋，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若O·O＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程.
【解】 (1)直线l：y＝x＋.①
过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x.②
由①②，得x＝－.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，
∴－＝－×2，∴p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)．
由O·O＝0，得x1x2＋y1y2＝0.
又y＝4x1，y＝4x2，
解得y1y2＝－16.③
直线ON：y＝x，即y＝x.④
由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－4(y≠0)．
课件25张PPT。2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)2.4 抛物线 利用探照灯、汽车前灯的反光曲面等生活中的实物进行新课导入。在前一节课学习抛物线的基础上，继续学习抛物线的通径和焦半径，直线与抛物线的位置关系等等. 激发学生的数学应用意识.
运用类比的思想，类比椭圆、双曲线的性质学习抛物线的通径和焦半径，直线与抛物线的位置关系．例1是关于抛物线的证明问题；例2是探寻直线与抛物线的交点个数问题，运用根的判别式法；例3运用了设而不求和点差法。
y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。抛物线的通径和焦半径1.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2FP通径的长度：2PP越大,开口越开阔2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。3.相交（一个交点，两个交点）. 直线与抛物线的位置关系问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？1.相离；2.相切；与双曲线的情况一致把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行（重合）相交（一个交点） 计 算 判 别 式问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。FA 焦点弦焦点弦公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。By2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）xyOABDFl例1、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:xyOFABDy2=4x 分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.?解：由题意，设直线l 的方程为y-1=k(x+2).(1)当k=0时，由方程①得y=1
①①①①综上，我们可得：变式训练：一个顶点在坐标原点,焦点在x轴上抛物线截直线2x-y-4=0所得弦长为 ,求抛物线的方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m ≠0)(x2=my (m≠0)),可避免讨论 例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，
且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，
则 ＝2px1， ＝2px2，故这个正三角形的边长为 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．?A2．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，
则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16
C．32 D．61BC 直线与抛物线的位置关系
⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.
相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线
的对称轴平行(重合);
相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线
的对称轴不平行(重合);
相离:直线与抛物线无公共点.⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行（重合）相交（一个交点） 计 算 判 别 式课件45张PPT。第2课时 抛物线方程及性质的应用自主学习 新知突破1．明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法．
2．会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题．
直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相切，对吗？
[提示] 不对．直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．直线与抛物线的位置关系及判断一个或2个 一个 0个 有关弦长问题x1＋x2＋p 对抛物线的焦半径与焦点弦的认识
抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：1．过点(0，－1)的直线与抛物线x2＝－2y公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
解析： 因为点(0，－1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1个或2个．
答案： D2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A．4p B．5p
C．6p D．8p
解析： 由题意线段PQ即为焦点弦，
∴|PQ|＝x1＋x2＋p.
∵x1＋x2＝3p，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
答案： A4．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长．合作探究 课堂互动直线与抛物线位置关系问题 当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 直线与抛物线的位置关系的研究方法
研究直线与抛物线的位置关系，通常用代数法，即研究直线与抛物线有无公共点的问题就是由它们的方程组成的方程组有无实数解的问题，方程组有几组实数解，它们就有几个公共点；方程组没有实数解，它们就没有公共点，其中，当直线与抛物线只有一个公共点时，有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切，反映在代数上是一元二次方程的两根相等(根的判别式Δ＝0)．
特别提醒：对于Δ的使用，应注意前提，即二次项系数不能为0，特别地，若二次项的系数含参数时应进行分类讨论，若系数等于0时方程有解，这时得到的直线与抛物线的对称轴平行．1．过点P(0,3)且与抛物线y2＝5x只有一个公共点的直线方程分别为________________．答案： x＝0，y＝3,5x－12y＋36＝0 中点弦问题 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程．
[思路点拨] 类比椭圆与双曲线，涉及弦中点问题，优先解法应是设而不求的“点差法”，而对于抛物线的弦中点问题更能体现出这种解法的优越性，当然本题使用中点坐标公式也不失为一种很好的解法． 关于中点的问题我们一般地可以利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解，也可以采用设而不求的方法．2．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．直线与抛物线的综合应用[思路点拨] 直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个交点，求实数a的值．
【错因】 对于a没有讨论a＝0的情况，在a≠0时，没有讨论a＝－1的情况，要区分方程中字母系数是否为0，化为一元二次方程的形式后，对于x2项的系数要讨论为零或非零的情况．谢谢观看！
