用公式法一元二次方程 教学设计
第1课时 用公式法解一元二次方程
教材分析:
能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案
教学目标：
【知识与技能】
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
【过程与方法】
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
【情感态度与价值观 】
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
教学重难点：
【教学重点】
重点：掌握用公式法解一元二次方程
【教学难点】
难点：对公式法中求根公式的推导过程的理解．
关键：运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。
课前准备：多媒体
教学过程：
复习引入
活动内容：
你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？
【设计意图】帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
讲授新课
问题：你能用配方法解方程吗？
通过推导得出答案：
【设计意图】这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.
典例精析
例1：解方程
解：（1）.这里 a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴
即 x1 = 9 x2 = -2.
例2 解方程：
要点归纳：
公式法解方程的步骤：
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: 的值;
4.判断：若 ≥0，则利用求根公式求出;
若<0，则方程没有实数根.
【设计意图】规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用公式法解一元二次方程的基本思路
拓展延伸
活动1：
问题：对于一元二次方程(a≠0),如何来判断根的情况？
对一元二次方程：(a≠0)
>0时,方程有两个不相等的实数根.
= 0时,方程有两个相等的实数根.
< 0时,方程无实数根.
我们把叫做一元二次方程根的判别式，用符号“Δ”来表示.
练一练：
不解方程判别下列方程的根的情况.
(1); (2);
(3)
要点归纳：根的判别式使用方法：
1、化为一般式，确定a,b,c的值.
2、计算 的值，确定的符号
3、判别根的情况，得出结论.
活动2：
例3 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
【设计意图】不解方程判别下列方程的根的情况，是中考新增加的一部分内容，因此拓展延伸需详细讲解和加以巩固。
应用与巩固
当堂练习：
1.解方程：
2.解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
3.解方程：
4.不解方程，判别方程的根的情况.
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
【设计意图】对本节知识进行巩固练习。
课堂小结
活动内容：师生互相交流、总结公式法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用公式法时应注意的问题。
/
【设计意图】鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
教学反思：
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学。
课件20张PPT。（第一课时）问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？基本步骤如下：
①将二次项系数化为1.
②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.
③两边都加上一次项系数一半的平方.
④直接用开平方法求出它的解.导入新课做一做：你能用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 吗?解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0,
移项，得 （x + ）2 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？讲授新课问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？（x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根).
当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得
x + =
x =这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时， 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.例1：解方程
（1）x2 - 7x –18 = 0.
解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴
即 x1 = 9 x2 = -2.典例精析（2）4x2 + 1 = 4x
解：将原方程化为一般形式,得
4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
即 x1 = x2 =例2 解方程：4x2-3x+2=0因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示. 不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 ,
∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 ,
∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.练一练3、判别根的情况，得出结论.1、化为一般式，确定a,b,c的值.要点归纳根的判别式使用方法2、计算 的值，确定 的符号.例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，所以有∴ k＜5且k≠1 故选B.B1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
即 x1 = -9, x2 = 2 .当堂练习2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0
解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 .
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴
即 x1= x2=4.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.这里a=5,b=-8,c=1，能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式谢 谢
