第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
教材分析:
能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案
教学目标：
【知识与技能】
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义
【过程与方法】
通过一元二次方程的建模过程增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法
【情感态度与价值观 】
通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。
教学重难点：
【教学重点】
重点：掌握用公式法解一元二次方程，并会应用解决实际面积问题
【教学难点】
难点：一元二次方程的建模。
课前准备：多媒体
教学过程：
一、知识回顾，情境引入
活动1：
问题1：请某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？
问题2：在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
/
【设计意图】以情境引入课题，以同学生平等的身份提出问题，改变教师的权威地位，成为学生真正意义上的合作者。通过问题情境的设计，让学生主动的投入到学习过程中，使学生真正成为数学学习的主人，激发学生的探究愿望。
活动2：
学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。
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【设计意图】通过征集设计方案，激发学生的内在动力。
先独立思考，独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。
活动3：
如何设未知数？怎样列方程？
分组解答图（5）、（6）所列的方程。
图（5）的解答：
解：设小路的宽为xm,由题意得：
（16-2x）（12-2x）=16×12×/
整理，得：x/-14x+24=0
x/-14x+49=-24+49
(x-7) /=25
x1=12 ,x2=2
答：（略）
问题：你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗？
图（6）的解答：
解：设扇形的半径为xm,由题意得：
πx/=16×12×/
πx/=96
// x=± ≈±5、5
x1≈5、5 ，x2≈-5、5（ 舍去）
集体解答图（7）：根据学生所列的方程进行解答。
【设计意图】通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用公式法解一元二次方程。
二、学以致用，典例精析
例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
/
方法点拨：
（1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.
例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
/
方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
【设计意图】增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程。
学以致用，巩固练习
当堂练习：
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？
/
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.问：养鸡场的面积能达到180m2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
3.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
【设计意图】对本节知识进行巩固练习。
四、课堂小结，感悟新知
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑/
【设计意图】鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
教学反思：
1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。引入新课时，提出了这样的问题：在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。提出问题：你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进。
2、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思路。
课件18张PPT。（第二课时）问题1：解一元二次方程我们学过哪几种方法？直接开平方法?,配方法,公式法 .问题2：请某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.导入新课(30-2x)(20-x)=6×78问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,并使
花园所占面积为荒地面积的一半.想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？讲授新课解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2 , x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2m.小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,
得到小路的宽为2m或12m.问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？xx解：设扇形半径为 xm, 根据题意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = , x2 = (舍去),
答：扇形半径约为5.5m.小亮设计：
如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 小颖设计：
如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m. 例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）27cm21cm典例精析 分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .9 79 727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由
此得到上下边衬宽度之比为：9 727cm21cm 解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.
试一试
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。依题意得27cm21cm解得 故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为: （1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.方法点拨例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885.解得 x1=105(舍去），x2=1.注意：结果应符合实际意义 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？解：设金边的宽为 x cm, 根据题意得:
(90 + 2x)(40 + 2x)×72% = 90×40.
即 x2 + 65x - 350 = 0.
解方程,得
x1= 5 , x2 = -70 (舍去).
答:金边的宽应是5cm.当堂练习2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m. 养鸡场的面积能达到180m2吗?
如果能,请给出设计方案;如果不能,请
说明理由.解:设养鸡场的长为xm,根据题意得:
即 x2 - 40x + 360=0.
解方程,得 x1 = x2= (舍去),
答：鸡场的为（ ）m满足条件.x3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0，解得 x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.课堂小结利用一元二次方程解决面积问题几何图形常见几何图形面积是等量关系.类 型花坛面积问题相框宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程谢 谢
