一元二次方程的应用 教学设计
第1课时：行程问题及几何问题
教材分析:
本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
教学目标：
【知识与技能】
通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
【过程与方法】
1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
【情感态度与价值观 】
在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
教学重难点：
【教学重点】
重点：掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.
【教学难点】
难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．
课前准备：多媒体
教学过程：
复习引入
问题：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
/【设计意图】用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。
二、讲授新课
活动1：典例精析
例1 ：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n?mile处有一目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
/
(1)小岛D与小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？
【设计意图】该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解。
解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。
例2：《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?
例3：一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800cm2.求截去正方形的边长.
【设计意图】一元二次方程的应用问题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长（或降低）率问题、利润问题、数形结合问题等；本节课以教材上的引例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，在第二课时在利润问题上也可增加平均增长率问题等，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会建模的重要性。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册中的“二次函数”的应用联系密切，所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。
活动2：针对练习
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？
【设计意图】通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。
三、应用与巩固
当堂练习：
1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱?
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半?
【设计意图】通过二道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。 在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流。
四、课堂小结
活动内容：
问题：1、列方程解应用题的关键
2、列方程解应用题的步骤
3、列方程应注意的一些问题
让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
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【设计意图】鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心
五、布置作业:
1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。
选做题（供学有余力的学生选做）：
一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20/海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
教学反思：
本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律。无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学习指导。
课件12张PPT。（第一课时）问题：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885.导入新课例1 ：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n?mile处有一
目标B,在B的正东方向200n?mile处有一重要目标C.小岛D位于AC
的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的
正南方向.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从
出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1)小岛D与小岛F相距多少海里?东北ABCDF解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF,
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF= AB，导入新课 ∵AB⊥BC, AB = BC =200n mile,
∴DF⊥BC, DF =100n mile.东北ABCDF(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？E解: 设相遇是补给船航行了x n mile,那么
DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile,
EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x)n mile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300 - 2x)2.
整理得： 3x2 - 1200x + 100000 = 0 ,
解方程得 (不符题意舍去) 例2：《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x - 10)2 = (3x) 2 +10 2.
整理得 2x2 - 7x = 0.
解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去).
∴3x=3×3.5 =10.5 , 7x = 7×3.5 = 24.5.
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.乙:3x甲:10ABC7x-10例3：一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800cm2.求截去正方形的边长.800cm2xx解:设截取正方形的边长为 x m,根据题意,得
(60 - 2x)(40 - 2x) = 800.
整理得 x2 - 50x + 400 = 0.
解方程,得
x1=10 , x2= 40 (不合题意,舍去).
答:截取正方形的边长为10cm.(60 - 2x)(40-2x) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ABCDQP分析：求五边形APQCD的面积为64cm2时的时间可以
转换为求△PQB面积为（6×12 - 64）cm2的时间解:设所需时间为 t s,根据题意,得
2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64.
整理得 t2 - 6t + 8 = 0.
解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 .
答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2.(6 - t)2t针对练习1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱?解: 设赛义德得到钱数为 x ,根据题意得,
x (20 - x) = 96.
整理，得 x 2 - 20x + 96 = 0.
解方程，得 x1 = 12 ， x2 = 8 (不符合题意，舍去).
答：赛义德得到钱数为 12.当堂练习解：设x秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半.根据题意
整理，得 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程，得
x1 = 2 , x2 = 12 (不符题意，舍去).
答：2秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半?利用一元二次方程
解决行程问题列方程步骤：应用类型几何问题行程问题面积问题动点问题审设列解检答课堂小结1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。
选做题（供学有余力的学生选做）：
一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.课后作业谢 谢
