一元二次方程的根与系数的关系 教学设计
教材分析:
本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
教学目标：
【知识与技能】
理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
【过程与方法】
在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
【情感态度与价值观 】
1、经历观察，归纳一元二次方程根与系数的关系，激发好奇心；
2、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。
教学重难点：
【教学重点】
重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系
【教学难点】
难点：会利用根与系数的关系解决有关的问题
课前准备：多媒体
教学过程：
复习引入
内容：
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式 来判断一元二次方程根的情况？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
【设计意图】以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
二、讲授新课
内容：算一算 解下列方程并完成填空
方程
x1
x2
x1+x2?
x1x2?
x2-2x+1=0
?
?
?
?
x2-2x-1=0
?
?
?
?
2x2-3x +1=0
?
?
?
?
问题：（1）若一元二次方程的两根为,则有,且,那么方程(为已知数）的两根是什么？将方程化为的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
进一步猜想：如果一元二次方程(a≠0)的两个根分别是，那么，你可以发现什么结论？你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明
【设计意图】本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根
三、典例精析
例1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）;（2）
例2、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
例3、 已知方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
例4、不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和.
例5、设为方程的两个根，则:
（1）. (2).
(3). (4).
例6、设是方程的两个实数根，且，求k的值.
【设计意图】引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系
拓展延伸
/
【设计意图】
1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。
五、应用与巩固
当堂练习：
1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1） （2）
2.已知方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
3.设是方程的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) ; (2)
拓展提升
4. 当k为何值时，方程的两根差为1
5.已知关于x的一元二次方程
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根满足∣∣= 1 求m的值.
【设计意图】把一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律。
六、课堂小结
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2= ，x1x2=
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0
【设计意图】鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
七、布置作业:
P52 A、知识技能1 B、数学理解3
已知方程的一个根为2，求另一个根及的值
教学反思：
本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。
课件24张PPT。导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.算一算 解下列方程并完成填空：112-1-11讲授新课猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳总结例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.（2）2x2 - 3x - 2 = 0.解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=-7.
答：方程的另一个根是 ，k=-7.例3 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.例4 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知： 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= , (2)x1·x2= ,
(3) ,
(4) .411412例5：例6：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得
Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .
(2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1.
Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .当堂练习2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
∴x1 =3.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）4. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.解：(1)方程有实数根∴m的取值范围为m＞0(2)∵方程有实数根x1,x2∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1解得m=8.经检验m=8是原方程的解课堂小结根与系数的关系
（韦达定理）内 容如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用常见变形P52
A 知识技能1
B 数学理解3
C 已知方程的一个根为2，求另一个根及的值课后作业谢 谢
