知识点 基本要求 略高要求 较高要求
一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值
一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题
板块一 一元二次方程的概念
一元二次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：
，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．
一元二次方程的识别：
要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．
任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．
要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．
?一元二次方程的定义：
关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为；②最高次数为；③整式方程
判别下列方程哪些是一元二次方程
⑴； ⑵； ⑶；
⑷； ⑸； ⑹
【解析】参照一元二次方程识别方法进行即可
【答案】⑴⑸是一元二次方程；⑵只有当时，才是一元二次方程；⑶是一元一次方程，展开后不含⑷⑹不是整式方程
把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项
⑴
⑵
【解析】略
【答案】⑴化简后为，因此二次项系数为；一次项系数为；常数项为
⑵化简后为，二次项系数为；一次项系数为；常数项为
【巩固】方程，化为一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
【解析】略
【答案】、二次项系数是、一次项系数是，常数项是
【巩固】先把下列的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项
⑴；⑵；⑶；⑷
【解析】略
【答案】⑴一般式：；二次项系数是、一次项系数是、常数项是
⑵一般式：；二次项系数是、一次项系数是、常数项是
⑶一般式：；二次项系数是、一次项系数是，常数项是
⑷一般式：；二次项系数是、一次项系数是、常数项是
关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C.为任何实数 D.不存在
【解析】恒大于
【答案】C
【巩固】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
【解析】整理方程得：，当时，原方程是一元二次方程．
【答案】
【巩固】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
【解析】整理得：，当，即，则原方程是一元二次方程．
【答案】
【巩固】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________．
【解析】由题意可知，，，故．
【答案】
若是关于的一元二次方程，则、的取值范围是（ ）
A.、 B.、 C.， D.、
【解析】关于一元二次方程的定义考查点有两个：①二次项系数不为，②最高次项的次数为
【答案】B
【巩固】为何值时，关于的方程是一元二次方程．
【解析】由定义可知，，∴，且，∴．
【答案】
已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
【解析】在分类讨论过程中，可能会有的学生存在一个误区，认为当、时，该方程也为一元二次方程是错误的，因为是分式，因此并不属于整式方程
【答案】当，方程化为；
当，方程化为；
当，方程化为；
当，方程化为，故不符题意．
综上可得，；；．
【巩固】若是关于的一元二次方程，求、的值．
【解析】略
【答案】分以下几种情况考虑：
⑴，，此时，；
⑵，，此时，；
⑶，，此时，
【巩固】已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
【解析】略
【答案】本题有3种情况：；；；解得；；．
?一元二次方程根的考察
关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）
已知是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】方程根的定义的考察，将代入方程即可求出
【答案】C
【巩固】若是方程的一个根，那么代数式的值为
【解析】∵是方程的一个根， ∴ 即，
∴代数式（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）
【答案】
【巩固】关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.
【解析】略
【答案】
【巩固】若两个方程和只有一个公共根，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得、满足的关系式
【答案】设两方程的公共根为，则①，②，
①-②得，，∴，解得
将代入①得 ∴
选D
?“降次”思想
已知是方程的一个根，则代数式的值为_________
【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解一元二次方程最根本的思想就是“降次”，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是“降次”，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：①根的考查；②恒等变形
【答案】∵是方程的一个根
∴，即
∴
∴
【巩固】已知是方程的一个根，试求的值
【解析】本题方法很多，但基本思路一样
【答案】∵是方程的一个根
∴，则
∴原式
=
板块二 一元二次方程的解法
?直接开平方法
对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解
如（）的解为，即，
如（）转化为，即转化为或进行求解
当时，方程和均无解
解下列方程
⑴ ⑵
【解析】直接开平方法（注意培养学生的解题格式）
【答案】⑴原方程化为
开平方得：，即或
∴或
⑵原方程化为
∴或
∴，
【巩固】解关于的方程：
【解析】略
【答案】，
【巩固】解关于的方程：
【解析】略
【答案】，
【巩固】解关于的方程：
【解析】略
【答案】，
【巩固】解方程：
【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．
【答案】，
?配方法
通过配方的方法把一元二次方程转化为形如的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。
用配方法解一元二次方程的步骤如下：
⑴把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边
⑵根据等式的性质把二次项的系数化为“”
⑶把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。
用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法
用配方法解下列方程
⑴ ⑵
【解析】参照配方法的基本过程即可
【答案】⑴移项得：
系数化为1得：
∴ 即
∴或
∴，
⑵移项得：
系数化为1得：
∴，即
∴ ∴，
【巩固】你能用配方法解下列方程吗？试试看
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【解析】略
【答案】⑴，； ⑵
⑶，； ⑷，
【巩固】用配方法解下列方程
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺
【解析】略
【答案】⑴，；⑵，；
⑶，；⑷，；⑸，
⑹，；⑺，
?公式法
一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来
用配方法解方程：（、、为常数且）
【解析】因为，方程两边同除以，得
移项，得，配方
因为，所以，当时，直接开平方得：
，
又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是
即；当时，原方程无解．
【答案】当时，；当时，原方程无解
用公式法解下列方程
⑴ ⑵
【解析】学生初学注意强调步骤
【解析】⑴∵，，
∴
根据求根公式得
∴，
⑵∵，，
∴
根据求根公式得
，∴，
【巩固】用公式法解下列方程
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺ ⑻
【解析】略
【答案】⑴，． ⑵，
⑶ ⑷，
⑸无实数根 ⑹，
⑺， ⑻，
关于的方程是一元二次方程，则
【解析】略
【答案】
一元二次方程的二次项系数为 ,一次项系数为 ，常数项为
【解析】略
【答案】二次项系数为，一次项系数为，常数项为
已知关于的方程一根为，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.以上均不对
【解析】略
【答案】A
对于方程下列叙述正确的是（ ）
A.不论为何值，方程均有实数根 B.方程根是
C.当时，方程可化为：或 D.当时，
【解析】略
【答案】
选择恰当的方法解下列方程
⑴；⑵；⑶；⑷
⑸；⑹；⑺；⑻
【解析】略
【答案】⑴或；⑵或；⑶或；⑷或
⑸或；⑹或；⑺或；⑻或
当 时，是关于的一元二次方程
【解析】略
【答案】
若，则的值为
【解析】略
【答案】
如果，则的值是
【解析】略
【答案】
若是一个完全平方式，则的值是
【解析】略
【答案】
关于的一元二次方程有一根为，则的值应为
【解析】略
【答案】
阅读材料解答下列问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为①，解得，
当时，，∴
当时，，∴
∴原方程的解为，，，
解答问题：
⑴填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 方法达到降次的目的，体现了 的数学思想
⑵解方程：
【解析】略
【答案】⑴换元、转化。⑵，
知识点 基本要求 略高要求 较高要求
一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值
一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题
板块一 一元二次方程的解法
?因式分解法（也称降次法）
因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或
例如：，则或
?因式分解法解一元二次方程的方法及步骤
解一元二次方程的思想方法：降次
因式分解法的一般步骤：
⑴将方程化为一元二次方程的一般形式
⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积
⑶令每个因式为，得到两个一元一次方程
⑷解这两个一元一次方程得原方程的解
例如：对于方程，张明的解法如下：
解：方程整理得①
方程两边同时除以得；②
去括号得；③
移项并合并同类项得，，∴④
你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合适的方法解方程
【解析】略
【答案】有错误；第②步出错，当时，方程两边不能同时除以
解：方程整理得
提取公因式得，
整理得 ∴或
用因式分解法解下列方程
⑴； ⑵； ⑶；
【解析】略
【答案】⑴原方程变形为：，即
整理得
∴或，∴，
⑵原方程变形为
∴
整理得，∴或，∴或
⑶原方程可化为
∴或
∴，
解关于的方程：
【解析】换元法
【答案】设，则原方程可变形为
整理得
∴或
∴或
当时，，∴
当时，，∴
∴，
【巩固】采用因式分解法解下列方程
⑴ ⑵
⑶ ⑷
【解析】略
【答案】⑴整理得
∴，∴或，∴或
⑵设，则原方程可变形为：
整理得
∴或
∴或
∴或
⑶移项得
∴
整理得
∴或
⑷移项得
提取公因式得
∴或
∴或
【巩固】采用恰当的方法解下列方程
⑴
⑵
⑶
【解析】略
【答案】⑴，；⑵，；⑶，
板块二 可转化为一元二次方程的分式方程
?解分式方程
解方程
【解析】把分式方程化为一元二次方程，然后解答
【答案】等式两边同时乘以得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的解
∴原方程的解为或
【巩固】解下列分式方程
⑴＋＝；⑵；⑶
【解析】注意检验根
【答案】⑴整理得：，解得，
经检验：，是原方程的解
∴原方程的解为，
⑵整理得：，解得，
经检验得：，是原方程的解
∴原方程的解为，
⑶整理得：，解得，
经检验得： 不是原方程的解，舍
∴原方程的解为
?换元法
解分式方程：
【解析】换元法
【答案】设，则原方程可变形为
整理得：，解得或
经检验得或均为方程的解
当时，则，整理得：
解得，
经检验，，均为原方程的解
当时，则，整理得：
解得：，
经检验，，均为原方程的解
∴原方程的解为，，，
【巩固】
【解析】略
【答案】解：原方程可整理为
令，则原方程变形为
解得或
当时，则，整理得
解得，
经检验，是原方程的解
当时，则，整理得
解得，
经检验：，是原方程的解
∴原方程的解为，，，
?分式方程的增根
如果关于的方程有一个增根是，则的值是多少？此时它的根是多少？
【解析】略
【答案】解：整理得：
∵原方程有一个增根是
∴是方程的解
因此将代入得
∴
∴方程为
解得，
经检验：不是原方程的解，舍
∴原方程的解为
板块三 简单的无理方程
1.无理方程的定义：根号内含有未知数的方程
2.有理方程和无理方程统称为代数方程，整式方程与分式方程又统称为有理方程，我们在初中阶段常见的整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程。
3.无理方程的解法思路与步骤：
①去根号；②解有理方程；③检验根；④写出原方程的根
判断下列方程是否为无理方程
⑴；⑵；⑶；⑷．
【解析】略
【答案】无理方程有： ⑶、⑷
解下列无理方程：会用平方法去根号解无理方程并会验根
⑴; ⑵; ⑶;
【解析】略
【答案】⑴整理得：
两边平方得：
整理得：，解得，
经检验不是原方程的解，舍
∴原方程的解为
⑵整理得
两边平方，整理得：
两边平方得，解得
经检验：是原方程的解
∴原方程的解为
⑶整理得：
两边平方得：
整理得：
解得：，
经检验不是原方程的解
∴原方程的解为
?无理方程的增根
已知关于的方程有一个增根，⑴求的值．⑵求方程的根
【解析】类似问题需要注意的是，不能将代入方程，因为是它的增根，所以必须先将无理方程转化为整式方程，然后再将代入整式方程中
【答案】⑴整理得
两边平方得：
整理得：
两边平方得：①
将代入方程①，整理得
解得，
经检验：当时，是原方程的根，不符合题意，舍
∴
⑵将代入方程①，整理得：
解得，
经检验是原方程的根
∴原方程的根为
?换元法解无理方程
解无理方程（换元法）
【解析】略
【答案】令，则，∴
则原方程变形为，整理得
解得，
∵ ∴
则，整理得，解得，
经检验，均为原方程的解
∴原方程的解为，
【巩固】解无理方程：
【解析】略
【答案】设，则，∴
∴原方程可变形为，整理得，
解得或
∵
∴，则，平方得，整理得
解得或
经检验或均是原方程的解
∴原方程的解为或
板块四 含字母参数方程的解法
解含字母参数方程的时候，最主要的是分类讨论的基本思想的应用。
解方程
【解析】因为题目并没有明确说明该方程一定是一元二次方程，所以需要讨论二次项系数是否为0
【答案】若，则；
若，则，故，
已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有几个？
【解析】对二次项系数进行分类讨论
【答案】当时，，解得，符合题意要求。
当时，则，整理得
解得，，因为原方程的两个根均为整数
∴也为整数，因此或
∴或或或
综上所述，整数的值有个，分别为，，，，
解关于的方程：
【解析】化为一般式：，然后讨论二次项系数是否为
【答案】原方程可整理为 ①
⑴当时，则或；
若，则方程①可整理为，解得
若，则方程①可整理为
⑵当时，且时
，解得或
已知关于的一元二次方程，请找出的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根。
【解析】略
【答案】原方程可变形为，整理得，
因此只需满足是整数即可，将代入即可求出方程的解，因此答案不唯一
略
方法二，也可以直接采用赋值法。
用因式分解法解下列方程
⑴；⑵；⑶；⑷
【解析】注意题目要求
【答案】⑴,；⑵，；⑶，；⑷，
解方程：
【解析】略
【答案】，，，
解方程：
【解析】略
【答案】
解方程
【解析】略
【答案】或
用恰当的方法解下列方程
⑴； ⑵； ⑶；
⑷； ⑸
【解析】略
【答案】⑴，；⑵，；⑶，；⑷；
⑸当时，方程的解为；当时，方程的解为，
解方程，这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设，那么，于是原方程可化为 ①，解这个方程得，．
当时，，；当时，．
故原方程有四个根：，，，．
⑴ 填空：由原方程得到①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想；
⑵ 解方程．
【解析】⑴ 换元，转化；
⑵ 设，原方程可化为，∴，．
当时，，解得，；
当时，，方程无解．
故原方程的根为，．
【答案】⑴ 换元，转化 ⑵，
解方程：
【解析】略
【答案】
解方程：．
【解析】令，则原方程化为．解之得（舍去）或．于是得到原方程的解为或．
【答案】或
知识点 基本要求 略高要求 较高要求
一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值
一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题
板块一 根的判别式
?定义：
运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：．
也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．
?判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．
设一元二次方程为，其根的判别式为：则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
?根的判别式的应用：
?⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；
不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴；⑵（）
【解析】略
【答案】⑴
∵
∴方程有两个不相等的实数根．
⑵∵
∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零
∵
∵无论取任何数，均为非负数
∴，故方程有两个实数根
【巩固】不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【解析】由方程可得，所以方程有两个不相等的实数根．
【答案】
【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：
⑴；⑵；⑶；⑷；
⑸；⑹；⑺；⑻
【解析】略
【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；
⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根
已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程 的根的情况（ ）．
A．有2个负根 B．有2个正根
C．有2个异号的实根 D．无实根
【解析】方程 的判别式为：
∵，，不全为，∴．∴原方程无实数根．故选D．
【答案】D
?⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；
取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根
【解析】略
【答案】
【巩固】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可得
所以
【答案】C
【巩固】方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【解析】注意二次项系数不为
【答案】且
【巩固】若关于的二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【解析】注意二次项系数不为
【答案】且
【巩固】若关于的一元二次方程有实数根，则的最小整数值为
【解析】注意题目要求以及二次项系数不为的条件
【答案】
【巩固】已知方程有实数根，求的范围．
【解析】注意分两种情况讨论：
若，则原方程可化为满足题意；
若，则由题意可知．
综上可知，
【答案】
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【解析】由题意，得 解得且
【答案】且
【巩固】关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________．
【解析】，解得
【答案】
【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：
【解析】∵，∴
∴
【答案】
【巩固】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【解析】由题意可知，原方程的判别式．
又，故．
【答案】
【巩固】为何值时，方程有实数根．
【解析】需要分两种情况来讨论：
⑴ 当时，原方程是一元一次方程，有一个实数根；
⑵ 当时，方程是一元二次方程，故，解得且，所以当且时方程有两个实数根．综上所述，当时，方程有实数根．
【答案】
关于的方程有实数根，则整数的最大值是 ．
【解析】由一元二次方程根的情况可知，即，解得，故．
【答案】8
【巩固】若方程有实数根，求：正整数．
【解析】，即，解不等式得，即．
【答案】1，2，3
已知关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，则________．
【解析】∵有两个相等的实数根．
∴，即
∴，∴，
∴，，因此．
【答案】
【巩固】当为何值时，方程有实根？
【解析】要使关于的一元二次方程有实根，则必有，即
，
得．
又因为，
所以，得，．
【答案】，
已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根
【解析】的，
∵二次方程有两个实数根，
∴，∴，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C．
【答案】C
【巩固】若方程只有一个实数根，那么方程（ ）．
A．没有实数根 B．有2个不同的实数根
C．有2个相等的实数根 D．实数根的个数不能确定
【解析】∵方程只有一个实数根，∴，得．
∴方程，即为方程，∴．
∴方程有2个相等的实数根．故选C．
特别注意方程只有一个实数根．若，则方程要么有个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有个实数根，所以，且．
【答案】C
?⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
对任意实数，求证：关于的方程无实数根．
【解析】略
【答案】∵，故方程为一元二次方程．
∵，∴，故方程无实根．
【巩固】求证：关于的一元二次方程有两个实数根．
【解析】略
【答案】∵是关于的一元二次方程
∴
∵
∴原方程有两个实数根．
【巩固】已知实数、、、、满足，，求证：一元二次方程 必有实根．
【解析】略
【答案】，因，则．又，所以当时，；当时，，．因此，一元二次方程必有实根．
【巩固】证明：无论实数、取何值时，方程都有实数根
【解析】注意分类讨论.
【答案】⑴若，则方程为，当时，有实数根；当时，方程的根为任意实数
⑵当时，原方程为一元二次方程
∴方程必有实数根
综合⑴⑵可知，原结论成立
【巩固】已知：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根．
【解析】略
【答案】当时，可化为，此时方程有根，故
故．
方程的判别式为：
故方程有两个实数根．
板块二 韦达定理
? 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，
则，．
?利用韦达定理求代数式的值
不解方程，求两根之和与两根之积
【解析】韦达定理成立的前提条件是
【答案】令此方程的两个实数根为、
由韦达定理得，
【巩固】设方程的两个根为、，不解方程求下列各式的值
⑴；⑵；⑶
【解析】不解方程，即利用韦达定理将、的整体构造出来
【答案】由韦达定理得，
⑴；
⑵
⑶，∴
【巩固】已知方程的两个根为、
⑴ ；⑵；⑶；⑷
【解析】略
【答案】⑴；⑵；⑶；⑷
【巩固】已知、是方程的两根，求的值．
【解析】注意，均为负数，很多学生求出的结果均为负值
【答案】由韦达定理可得，，
∴，∴
?利用韦达定理求参数的值
若、是方程的两个根，则
【解析】略
【答案】
【巩固】若方程的一个根为，则它的另一根等于 ，等于
【解析】部分学生喜欢将代入原方程，求的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
【答案】设方程的另一根为，根据题意得，解得，
【巩固】关于的方程的一个根为，则另一个根是 ，
【解析】略
【答案】设另一个根是，根据题意得，，解得，
【巩固】方程的两个根之比为，则
【解析】略
【答案】设方程的两个根为、，根据题意得，解得，
【巩固】已知是方程的一个根，求另一个根和的值
【解析】略
【答案】设另一个根为，根据题意得，解得，
已知方程的两个根的平方和是，求的值。
【解析】易忽略的条件
【答案】设方程的两根为、，由韦达定理得，根据题意得解得，
【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实根、，且，求的值
【解析】易忽略的条件
【答案】由韦达定理得，∵ ∴ ，即，解得或
∵，∴
【巩固】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值
是＿＿＿＿．
【解析】易忽略
【答案】由韦达定理得，∵ ∴
即，整理得，解得或
∵，∴
【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根、
⑴求的取值范围。
⑵是否存在实数，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由
【解析】易忽略
【答案】⑴根据题意得，解得且
⑵不存在这样的实数
假设方程的两个实数根、互为相反数，则
解得，∵且
∴舍
因此不存在这样的实数，使方程的实数根互为相反数
是否存在常数，使关于的方程的两个实数根、，满足，如果存在，试求出所有满足条件的值；如果不存在在，请说明理由
【解析】此类问题应先假设值存在
【答案】解：假设存在满足条件的，则由韦达定理得①，②
∵ ∴ ∵，∴③
由①②③解得，
当，时，均大于
所以存在满足条件的常数，或
?利用韦达定理构造一元二次方程
已知两个数的和为，积为，求这两个数
【解析】韦达定理
【答案】设这两个数为、，由题意得，
所以，以、为根的一元二次方程为，解得，
∴这两个数分别为，
【巩固】以和为根，二次项系数为的一元二次方程为
【解析】略
【答案】，（最好让学生整理出一般形式）
【巩固】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是各根的负倒数
【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为的简单形式，再根据，
【答案】设方程的两根为、，则，
设所求方程为，其两根为、
则，
∴；
∴所求的方程为，即
方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【解析】注意
【答案】且
若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（）
A. B. C. D.
【解析】韦达定理
【答案】不妨设方程的两个根为、，且
∴，则
∴，将代入方程整理，即可得
方程没有实数根，那么的最小正整数值是
【解析】略
【答案】解得,∴最小正整数值是
一元二次方程中，，，，且，则两个根的符号（ ）
A.同为正 B.同为负 C. 一正一负 D.同号
【解析】韦达定理的应用
【答案】设的两个实数根为、，则，∴两个根同为正
如果方程的两个根的平方和等于，那么
【解析】略
【答案】设方程的两个根为、，则，
根据题意得，解得
若一元二次方程有两个相等的实数根，则
【解析】略
【答案】
已知实数和满足和，求的值
【解析】注意分类讨论，
【答案】当时，原式；当时，原式
已知、、是三角形的三边长，求证：没有实数根
【解析】略
【答案】
∵、、是三角形三边长
∴
∴方程没有实数根
关于的二次方程有两个实数根，则的取值范围是
【解析】略
【答案】且
已知方程的两个实数根是、，同时方程的两实数根是，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】略
【答案】且
已知方程没有实数根
求证：方程一定有两个不相等的实数根
【解析】略
【答案】证明：由题意得，解得
∴
则方程一定有两个不相等的实数根
当是什么实数时，关于的二次方程与都有实数根。
【解析】略
【答案】根据题意得，解得且
知识点 基本要求 略高要求 较高要求
一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值
一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题
板块一：一元二次方程的整数根问题
?有理数根问题
方程（，、、均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数
已知关于的一元二次方程有有理根，求的值。
【解析】略
【答案】∵原方程的根为有理根
所以为完全平方式，因此，整理得
解得或
【巩固】设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值．
【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
，
其中是非负整数，于是，所以，
由于，并且是偶数，
所以与同奇偶，所以
，或．
所以，或(舍去)．
所以，这时方程的两个根为，．
点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
【答案】
?整数根问题
已知方程的根都是整数，求正整数的值；
【解析】略
【答案】根据题意得，
∵原方程的根均为整数，且为正整数
∴或或
【巩固】已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．
【解析】由原方程由整数解可知，必然是一个完全平方数．
又可知，，又为奇数，故．
此时原方程的两个实数根为：，不妨设，则，
故．满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．
【答案】
已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么 ．
【解析】∵，∴由公式法可得，．
即．
【答案】、、
当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．
【解析】由题意可知，方程的判别式
方程的判别式为
故，又为整数，，故或
当时，题干中的两个方程分别为、，满足题意；
当时，题干中的两个方程分别为、，不合题意．
故．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出，此时两个判别式都要是完全平方数．
【答案】
【巩固】为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？
【解析】两式相减，整理得，
当时，，代入第一个方程，得
解得，
当时，两方程无整数根．
∴，相同的整数根是2
【答案】，相同的整数根是2
若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．
【解析】原方程变形、因式分解为，
．
即，．
由为正整数得；由为正整数得．
所以使得，同时为正整数，但当时，，与题目不符，所以，只有 为所求．
【答案】
已知关于的方程的两根都是整数，求的值．
【解析】本题的难点在于并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解
【答案】设方程的两个根为、
根据题意得，将②代入①，整理得
∴
∵、均为整数 ∴的值为或
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，或
求方程的所有正整数解．
【解析】原方程可化为关于的一元二次方程．
由于为实数，则判别式不小于，即．
化简得，解得．
由于是正整数，则只能取．分别将代入原方程，
得原方程的两组正整数解为，．
【答案】，
板块二：一元二次方程的应用
?增长率问题
某校去年对实验器材的投资为万元，预计今明两年的投资总额为万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？
【解析】注意“累计”等名词
【答案】设平均增长率为，根据题意得
整理得，解这个方程得：，（舍）
答：该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是
【巩固】某个体户以元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这元资金加上第一年的利润在第二年共获利润元，而且第二年的利润率比第一年多，则第一年的利润是多少元？
【解析】略
【答案】设第一年的利润为元，根据题意得
解得，（舍）
答：第一年的利润为元
【巩固】某公司成立年以来，积极向国家上交利税，由第一年的万元增加到万元，则平均每年增长的百分数是
【解析】略
【答案】设平均每年增长的百分数是
根据题意得：
解得或（舍）
∴平均每年的增长的百分数是
【巩固】某商场年的营业额比年上升，年比年又上升，而年和年连续两年比上一年降低，那么年的营业额比年的营业额（ ）
A.降低了 B. 没有变化 C.上升了 D.降低了
【解析】注意题目要求，还有注意是比较“年的营业额与年的营业额”
【答案】设年的营业额为元，则年的营业额为元，年的营业额元，所以年的营业额为
因此年的营业额比年的营业额降低了
所以选择
【巩固】北京市政府为了迎接年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】略
【答案】设绿地面积的增长率是，原有绿地面积为，根据题意得
解得或（舍）
则平均增长率为
∴选
?商品利润问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出件，每件盈利元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场平均每天多售出件，若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降低多少元？
【解析】略
【答案】解：设每件衬衫降价元，则每件所获得的利润为元，但每天可多售件，每天可卖件，根据题意得，
方程化简整理得
解得，
∵要尽快减少库存，∴
答：若商场每天要盈利元，每件应降价元
【巩固】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出件，每件赢利元．为了迎接“十?一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天销售这种衬衫赢利元，那么每件衬衫应降价多少元？
【解析】本题可设每件衬衫应降价元，则每件赢利元，平均每天可售出件，根据每件的盈利×销售的件数=衬衫的盈利，据此即可可列出方程，求出答案．
【答案】设每件衬衫应降价元，
根据题意得
整理得
解得，
∵要尽快减少库存
∴
答：每件衬衫应降价元
【巩固】某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月按进价增加作为售价，售出盒；第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，求每盒茶叶的进价
【解析】略
【答案】设每盒进价元，依题意可列下列方程：
整理得，解得、
经检验、都是原方程的解，但进价不能为负数，所以只取
答：每盒茶叶进价为元
商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．
⑴问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
⑵若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应为多少元？
【解析】略
【答案】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）．
⑵设后来该商品每件降价元，依题意，得
整理得
解得，
当时，售价为元
当时，售价为元
答：商店经营该商品一天要获利润元时，每件商品应售价为元或元
【巩固】西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．那么每千克的利润为：，由于这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．所以降价元，则每天售出数量为：千克．
本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量固定成本=．
【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．
根据题意，得
原式可化为：
解这个方程，得，
答：应将每千克小型西瓜的售价降低或元．
【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车辆，每辆汽车的日租金为元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加元，每天出租的汽车相应地减少辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个元
⑴能使公司的日租金总收入达到元？
⑵使公司的日租金总收入最高？最高是多少？
【解析】略
【答案】⑴设公司将每辆车日租金提高个元，才能使公司的日租金总收入达到元，
根据题意得
，整理得
解得，，检验知，均符合题意
故公司将每辆汽车租金提高元或元，公司的日租金总收入达到元
⑵设公司将每辆汽车日租金提高个元，则公司每天出租的汽车为辆，
则每天的租金总收入为
∴当时，公司的日租金收入最高，最高租金为元
?图形面积问题
如图，一块长方形铁皮的长是宽的倍，四个角各截去一个正方形，制成高是，容积是的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．
【解析】因为本题中容器的高是，长方形铁皮的长是宽的倍，所以可设这块铁皮的宽式，则长是，容器的底面面积是，利用其容积是，可列出方程，进而求出答案．
【答案】设这块铁皮的宽是，根据题意得
解得，（舍去）
所以，
答：这块铁皮的长是，宽是．
【巩固】在宽为，长为的矩形地面上，修同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，道路的宽应为多少？
【解析】略
【答案】设小路的宽为，根据题意得
解得，
不符合题意，舍去，
答：道路的宽应为
【巩固】长、宽的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，若四周未铺地毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度为
【解析】略
【答案】设留空的宽度为，根据题意得
整理得，解得，
不符合题意，舍，∴
答：留空的宽度为
【巩固】如图所示，在一个长为米，宽为米的矩形广场上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是平方米，则道路宽为多少？
【解析】注意：是“每块草坪的面积是平方米”
【答案】设道路的宽为米，根据题意得米
整理得，解得或
不符合题意，舍
∴
答：道路宽为米
?传播问题
⑴有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有 人得流感．
⑵有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有 人得流感．
【解析】以此加就可以，一人传染给人就有人感冒了，然后人每人又传染了人感冒的人数就达到人；一人感冒传染给人，感冒人数就达到人，以此再推下下去就得到答案．
【答案】⑴、
⑵、
【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑会不会超过台？
【解析】略
【答案】设每轮感染中平均一台电脑感染台，根据题意得
，解得或（舍）
所以每轮感染中，平均一台电脑感染台
经过三轮感染，一共有台电脑，超过了台电脑
【巩固】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？
【解析】设每个支干长出个小分支，则主干有个，支干有个，小分支有个
【答案】设每个支干长出个小分支
根据题意得
解得、（舍）
答：每个支干长出个小分支
?动点问题
如图，中，，，，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动（点到达点运动停止）．如果点，分别从点，同时出发秒（）
⑴为何值时，？
⑵为何值时，可使得的面积等于？
【解析】略
【答案】根据题意，知、
⑴根据勾股定理，得
，即
整理得
解得（舍）或
⑵根据三角形的面积公式，得
，则，解得或
当或秒时，的面积等于
【巩固】如图所示，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标,在的正东方向海里处有一重要目标小岛。小岛位于的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的倍，军舰在到的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果保留根号）
【解析】略
【答案】解：∵，海里，∴海里，
过点作，垂足为，则，，即海里
设相遇时补给船航行了海里，那么海里，海里，海里
在中，根据勾股定理可得方程
，整理得，
解得，（不符合题意，舍去）
所以相遇时补给船大约航行了海里
设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根．
【解析】为完全平方数，又为的整数，则或．当时，，；当时，，．
点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．
【答案】当时，，；当时，，．
小明要在一幅长厘米、宽厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条，要求使水彩画的面积是整幅画面积的，设金色彩条的宽为厘米，根据题意列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】略
【答案】
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【解析】略
【答案】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意得
解得或（舍）
答每轮传染中平均一个人传染了人
编一道可化为一元二次方程的应用题，并解答，编题要求：
⑴要联系实际生活，其解符合实际；
⑵方程不含常数项，其有一解为
⑶题目完整，题意清楚
【解析】根据条件⑵，其中有一解为4，可不含常数项，则方程（）或，这样就可以编一道题
【答案】（答案不唯一）、、三家商场，在节假期间采取不同的促销活动销售电视，结果同一天商场比商场多销售台，商场比商场少销售台，恰好、两商场销售彩电的数量积为，求商场销售数量
为了绿化校园，某中学在2018年植树棵，计划到2020年底使这三年的植树总数达到棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
【解析】注意是“三年的植树总数达到”
【答案】设该校植树平均每年增长的百分数为
根据题意得，整理得
解得（舍）或
答：该校植树平均每年的增长百分数为
如图，有长为米的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间有一道篱笆的长方形花圃
⑴如果花圃的面积为平方米，求花圃的宽的长
⑵花圃的面积能围成平方米吗？如果能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由
⑶花圃的面积能围成平方米吗？若能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由
【解析】注意
【答案】设花圃的宽米，则
⑴当，解得，当时，，不符合题意舍
∴的长为
⑵假设能围成，则有，整理得
解得，，当时，；当时，，符合题意
故可以围成，这时宽米
⑶假设能围成，则有，整理得，解得，当时，，不符合题意，故不能围成
已知：关于的一元二次方程．
⑴若原方程有实数根，求的取值范围；
⑵设原方程的两个实数根分别为，，当取哪些整数时，，均为整数；
【解析】略
【答案】⑴∵原方程有实数根 ∴，整理得，对任意的都成立
但又因为，∴的取值范围是
⑵由求根公式得，
∵、均为整数 ∴的值为、
