14.2 三角形全等的判定（2）课时作业 有答案
文档属性
| 名称 | 14.2 三角形全等的判定（2）课时作业 有答案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-31 08:52:18 | ||
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文档简介
14.2 三角形全等的判定（2）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E
B．BC=EC，AC=DC
C． BC=DC，∠A=∠D
D． ∠B=∠E，∠A=∠D
如图，在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，还添加一个条件才能使△ABC≌△DEF，下列不能添加的条件是（ ）
A．∠B=∠E B．BC=EF C．∠C=∠F D．AC=DF
如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A． ∠B=∠E B． ∠C=∠F C． BC=EF D． AC=DF
如图，点A．D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为( )
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A． BC=AD，∠ABC=∠BAD B． BC=AD，AC=BD
C． AC=BD，∠CAB=∠DBA D． BC=AD，∠CAB=∠DBA
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图所示，已知点A．D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．
如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件______，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF的方法共有______种．
如图，点B在线段AE上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABC≌△ABD，那么这个条件可以是 （要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可）
如图，已知OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有 对．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于F，AD=BD．试判断：BF与AC的数量关系，并加以证明．
如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．
如图1，OP是∠MON的平分线，利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，写出FE与FD之间的数量关系 ；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】全等三角形的判定．
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
【考点】全等三角形的判定
【分析】全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
解：A．已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA．AAS、HL进行分析．
解：A．添加∠B=∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加BC=EF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
C、添加∠C=∠F，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加AC=DF，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．
注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题可以假设A．B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
解：A．正确，符合判定ASA；
B、正确，符合判定AAS；
C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；
D、正确，符合判定SAS．
故选C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先证明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AE﹣ED=3，即可得出CD=AC﹣AD=4
解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC=ED=7，
∴AD=AE﹣ED=10﹣7=3，
∴CD=AC﹣AD=7﹣3=4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA．AAS分别进行分析即可．
解：根据图形可得公共边：AB=AB，
A．BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．
注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
、填空题
【考点】 全等三角形的判定．
【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA．AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
【考点】全等三角形的判定
【分析】可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．
解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAB”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，看利用“AAS”证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．
故答案为：AE=CB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．
【考点】全等三角形的判定
【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．
解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
即∠ABC=∠DBE，
∵AB=DB，
∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，
②用“边角边”，需添加BE=BC，
③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．
【考点】全等三角形的判定
【分析】利用三角形全等的方法来判定，做题时要认真读题，明白题意，然后结合全等的判定方法进行选择．
解：可以选择①②③，利用SSS判定△ABC≌△DEF，
选择①③④利用SAS来判定△ABC≌△DEF．
共有两种方法．
故填2．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的掌握情况，对判定方法要灵活掌握．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】已知已经有一对角和一条公共边，所以再找一对边或一对角就可以得到两三角形全等．
解：已经有∠CAB=∠DAB，AB=AB，
再添加AC=AD，利用SAS证明；
或添加∠ABC=∠ABD，利用ASA证明；
或添加∠C=∠D，利用AAS证明，（答案只要符合即可）．
故答案为AC=AD或∠ABC=∠ABD或∠C=∠D
【点评】本题考查了全等三角形的判定；本题是开放性题目，答案不确定，只要符合题意即可．
【考点】全等三角形的判定和性质．
【分析】由于OA=OB，∠AOD=∠BOC，OC=OD，利用SAS可证△AOD≌△BOC，再利用全等三角形的性质，可知∠A=∠B；在△ACE和△BDE中，∠A=∠B，∠AEC=∠BED，而OA﹣OC=OB﹣OD，即AC=BD，利用AAS可证△ACE≌△BDE；再利用全等三角形的性质，可得AE=BE，在△AOE和△BOE中，由于OA=OB，∠A=∠B，AE=BE，利用SAS可证△AOE≌△BOE；再利用全等三角形的性质，可得∠COE=∠DOE，而OE=OE，OC=OD，利用SAS可证△COE≌△DOE．
解：∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OC=OD，
∴△AOD≌△BOC，
∴∠A=∠B，
又∵∠AEC=∠BED，OA﹣OC=OB﹣OD，
即AC=BD，
∴△ACE≌△BDE，
∴AE=BE，
又∵OA=OB，∠A=∠B，
∴△AOE≌△BOE，
∴∠COE=∠DOE，
又∵OE=OE，OC=OD，CE=DE，
∴△COE≌△DOE．
故全等的三角形一共有4对．
故填4．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质．做题时要从已知开始结合判定方法逐个验证，做到由易到难，不重不漏．
、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂直定义求出∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠C=90°，∠B+∠C=90°，求出∠A=∠B，根据ASA推出△ADC≌△BDF即可．
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠A=∠B，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能推出△ADC≌△BDF是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．
解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论，
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC=∠BAC，由于∠DEC+∠BEC=180°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=ABC，∠ECB=ACB，于是得到结论；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC=60°，得到∠BEC=90°+BAC=120°，求得∠FEB=∠DEC=60°，根据角平分线的性质得到∠BEM=60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF=EM，同理DE=EM，即可得到结论．
解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC，∠DEC+∠BEC=180°，
∴∠BAC+∠BEC=180°；
（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=ABC，∠ECB=ACB，∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°∠BAC；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=90°+BAC=120°，
∴∠FEB=∠DEC=60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM=60°，
在△FBE与△EBM中，
，
∴△FBE≌△EBM，
∴EF=EM，同理DE=EM，
∴EF=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据要求在OP上任取一点B，过B分别作两边的垂线，这样就可以利用AAS来判定三角形全等；（1）由∠ACB=90°，∠B=60°可知∠BAC=30°，由AD、CE是角平分线可知∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°，根据外角性质即可求出∠EFA的度数.（2）先在AC上截取AG=AE，连结FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，进而得出FE=FD（3）先在AC上截取AG=AE，连结FG，由AD是∠BAC的平分线，可知∠EAF=GAF，通过证明△EAF≌△GAF（SAS）可知FE=FG，∠EFA=∠GFA．由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，可知∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=60°．进而可知 ∠EFA=∠DFC=60°．通过证明△FDC≌△FGC，可得FD=FG．即可证明FE=FD．
解：如图1，作法：Ⅰ、在OP上任取一点B，
Ⅱ、过B分别作BC⊥ON于C，BA⊥OM于A，则△OAB≌△OBC（AAS），
（1）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°，
（2）FE=FD．
如图②，在AC上截取AG=AE，连接FG．
由（1）知∠EAF=∠GAF，
又∵AF为公共边，
∴△EAF≌△GAF，
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
由（1）知∠DCF=∠GCF，
又∵CF为公共边，
∴△FDC≌△FGC，
∴FD=FG．
∴FE=FD．
（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立，
如图③，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA，
又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-60°）=60°，
∴∠EFA=∠DFC=60°，
∵∠AEF=∠AFG=60°，
∴∠GFC=60°，
∴∠GFC=∠DFC，
在△FDC和△FGC中
∵ ，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E
B．BC=EC，AC=DC
C． BC=DC，∠A=∠D
D． ∠B=∠E，∠A=∠D
如图，在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，还添加一个条件才能使△ABC≌△DEF，下列不能添加的条件是（ ）
A．∠B=∠E B．BC=EF C．∠C=∠F D．AC=DF
如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A． ∠B=∠E B． ∠C=∠F C． BC=EF D． AC=DF
如图，点A．D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为( )
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A． BC=AD，∠ABC=∠BAD B． BC=AD，AC=BD
C． AC=BD，∠CAB=∠DBA D． BC=AD，∠CAB=∠DBA
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图所示，已知点A．D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．
如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件______，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF的方法共有______种．
如图，点B在线段AE上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABC≌△ABD，那么这个条件可以是 （要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可）
如图，已知OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有 对．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于F，AD=BD．试判断：BF与AC的数量关系，并加以证明．
如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．
如图1，OP是∠MON的平分线，利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，写出FE与FD之间的数量关系 ；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】全等三角形的判定．
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
【考点】全等三角形的判定
【分析】全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
解：A．已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA．AAS、HL进行分析．
解：A．添加∠B=∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加BC=EF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
C、添加∠C=∠F，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加AC=DF，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．
注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题可以假设A．B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
解：A．正确，符合判定ASA；
B、正确，符合判定AAS；
C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；
D、正确，符合判定SAS．
故选C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先证明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AE﹣ED=3，即可得出CD=AC﹣AD=4
解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC=ED=7，
∴AD=AE﹣ED=10﹣7=3，
∴CD=AC﹣AD=7﹣3=4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA．AAS分别进行分析即可．
解：根据图形可得公共边：AB=AB，
A．BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．
注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
、填空题
【考点】 全等三角形的判定．
【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA．AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
【考点】全等三角形的判定
【分析】可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．
解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAB”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，看利用“AAS”证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．
故答案为：AE=CB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．
【考点】全等三角形的判定
【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．
解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
即∠ABC=∠DBE，
∵AB=DB，
∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，
②用“边角边”，需添加BE=BC，
③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．
【考点】全等三角形的判定
【分析】利用三角形全等的方法来判定，做题时要认真读题，明白题意，然后结合全等的判定方法进行选择．
解：可以选择①②③，利用SSS判定△ABC≌△DEF，
选择①③④利用SAS来判定△ABC≌△DEF．
共有两种方法．
故填2．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的掌握情况，对判定方法要灵活掌握．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】已知已经有一对角和一条公共边，所以再找一对边或一对角就可以得到两三角形全等．
解：已经有∠CAB=∠DAB，AB=AB，
再添加AC=AD，利用SAS证明；
或添加∠ABC=∠ABD，利用ASA证明；
或添加∠C=∠D，利用AAS证明，（答案只要符合即可）．
故答案为AC=AD或∠ABC=∠ABD或∠C=∠D
【点评】本题考查了全等三角形的判定；本题是开放性题目，答案不确定，只要符合题意即可．
【考点】全等三角形的判定和性质．
【分析】由于OA=OB，∠AOD=∠BOC，OC=OD，利用SAS可证△AOD≌△BOC，再利用全等三角形的性质，可知∠A=∠B；在△ACE和△BDE中，∠A=∠B，∠AEC=∠BED，而OA﹣OC=OB﹣OD，即AC=BD，利用AAS可证△ACE≌△BDE；再利用全等三角形的性质，可得AE=BE，在△AOE和△BOE中，由于OA=OB，∠A=∠B，AE=BE，利用SAS可证△AOE≌△BOE；再利用全等三角形的性质，可得∠COE=∠DOE，而OE=OE，OC=OD，利用SAS可证△COE≌△DOE．
解：∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OC=OD，
∴△AOD≌△BOC，
∴∠A=∠B，
又∵∠AEC=∠BED，OA﹣OC=OB﹣OD，
即AC=BD，
∴△ACE≌△BDE，
∴AE=BE，
又∵OA=OB，∠A=∠B，
∴△AOE≌△BOE，
∴∠COE=∠DOE，
又∵OE=OE，OC=OD，CE=DE，
∴△COE≌△DOE．
故全等的三角形一共有4对．
故填4．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质．做题时要从已知开始结合判定方法逐个验证，做到由易到难，不重不漏．
、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂直定义求出∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠C=90°，∠B+∠C=90°，求出∠A=∠B，根据ASA推出△ADC≌△BDF即可．
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠A=∠B，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能推出△ADC≌△BDF是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．
解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论，
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC=∠BAC，由于∠DEC+∠BEC=180°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=ABC，∠ECB=ACB，于是得到结论；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC=60°，得到∠BEC=90°+BAC=120°，求得∠FEB=∠DEC=60°，根据角平分线的性质得到∠BEM=60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF=EM，同理DE=EM，即可得到结论．
解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC，∠DEC+∠BEC=180°，
∴∠BAC+∠BEC=180°；
（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=ABC，∠ECB=ACB，∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°∠BAC；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=90°+BAC=120°，
∴∠FEB=∠DEC=60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM=60°，
在△FBE与△EBM中，
，
∴△FBE≌△EBM，
∴EF=EM，同理DE=EM，
∴EF=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据要求在OP上任取一点B，过B分别作两边的垂线，这样就可以利用AAS来判定三角形全等；（1）由∠ACB=90°，∠B=60°可知∠BAC=30°，由AD、CE是角平分线可知∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°，根据外角性质即可求出∠EFA的度数.（2）先在AC上截取AG=AE，连结FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，进而得出FE=FD（3）先在AC上截取AG=AE，连结FG，由AD是∠BAC的平分线，可知∠EAF=GAF，通过证明△EAF≌△GAF（SAS）可知FE=FG，∠EFA=∠GFA．由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，可知∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=60°．进而可知 ∠EFA=∠DFC=60°．通过证明△FDC≌△FGC，可得FD=FG．即可证明FE=FD．
解：如图1，作法：Ⅰ、在OP上任取一点B，
Ⅱ、过B分别作BC⊥ON于C，BA⊥OM于A，则△OAB≌△OBC（AAS），
（1）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°，
（2）FE=FD．
如图②，在AC上截取AG=AE，连接FG．
由（1）知∠EAF=∠GAF，
又∵AF为公共边，
∴△EAF≌△GAF，
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
由（1）知∠DCF=∠GCF，
又∵CF为公共边，
∴△FDC≌△FGC，
∴FD=FG．
∴FE=FD．
（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立，
如图③，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA，
又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-60°）=60°，
∴∠EFA=∠DFC=60°，
∵∠AEF=∠AFG=60°，
∴∠GFC=60°，
∴∠GFC=∠DFC，
在△FDC和△FGC中
∵ ，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．