14.2 三角形全等的判定（4）课时作业 有答案

14.2 三角形全等的判定（4）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
下列说法不正确的是（?? ）
A．?有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B.?有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C.?有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.?有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　）
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是( )
A． 与互为余角
B．
C．
D．
如图在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（　　）
A． 相等 B． 互余 C． 互补或相等 D．不相等
如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（　　）
A．DE=DC B．AD=DB C．AD=BC D．BC=AE
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的条件是　　　　　　．
如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．
①有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③有三角对应相等的两个直角三角形全等；
④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
上述判断正确的是________．
如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形　　　　　　对．
如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件　　．（只需写出符合条件一种情况）
如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=______度．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．
如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2.求证：AD平分∠BDC。
如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD．求证：OB=OC．
已知,如图,在△ABC和△DEF(它们均为锐角三角形)中，AC=DF，AB=DE.
(1)用尺规在图中分别作出AB、DE边上的高CG、FH(不要写作法,保留作图痕迹).
(2)如果CG=FH，猜测△ABC和△DEF是否全等，并说明理由。
答案解析
、选择题
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据三角形全等的判定定理进行分析即可．
解：A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确；
B．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；
C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；
D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；
故选：C
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．
解：∵∠B=90°，∠1=30°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣30°=60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2=∠3=60°．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、HL．做题时要由易到难，不重不漏．　
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】先利用HL证明Rt△ABC≌Rt△CED（HL），根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠2，∠1=∠D，继而可得∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，由此对各选项进行判断即可.
解：∵∠B=∠E=90°，
在Rt△ABC和Rt△CED中，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C正确，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A．B正确；D 错误，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“HL”是解本题的关键.
【考点】全等三角形的判定；平行线的判定．
【分析】连接AP，△APR≌△APS，可得AS=AR；∠PQC=∠APQ+∠QAP=2∠QAP=∠PAB+∠PAQ=∠BAQ，则PQ∥AB；
③在Rt△BRP和Rt△CSP中，只有PR=PS，因而不能判定全等．
解：连接AP，
在△APR和△APS中，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
∵，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①是正确的，
∠BAP=∠SAP，
∴∠SAB=∠BAP+∠SAP=2∠SAP，
在△AQP中，
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠APQ，
∴∠CQP=∠QAP+∠APQ=2∠QAP=2∠SAP．
∴PQ∥AB，故②是正确的，
Rt△BRP和Rt△CSP中，
只有PR=PS，
∴不满足三角形全等的条件，
故③是错误的．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．　
【考点】 全等三角形的判定与性质．
【分析】第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．
解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，AC=AC′，高CD=C′D′，
∴∠ADC=∠AD′C′，
在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，
Rt△ACD≌Rt△AC′D′（HL），
∴∠CAD=∠C′AD′，
此时，∠CAB+∠C′AB=180°，
是互补关系，
所以选“相等或互补”．
故选C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．
【考点】直角三角形全等的判定，垂直平分线的性质
【分析】根据题意和图形可以分别推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：∵△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，
∴AB=2BC，AD=DB＞AE，
∴AD=DB，故选项B正确，
AD＞BC，故选项C错误，
BC=AE，故选项D正确，
∵∠DEB=∠DCB=90°，
在Rt△DBE和Rt△DBC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DBC（HL），
∴DE=DC，故选项A正确，
故选C．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．　
、填空题
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△ADE，已知有一对角与一对边相等，则可以根据三角形全等的判定方法添加合适的条件即可．
解：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，
∴可添加AC=AE，利用SAS判定．
故填AC=AE（或BC=DE，∠E=∠C，∠B=∠D）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．添加时注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
【考点】直角三角形全等的判定．
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．　
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理，针对每一个选项进行分析，可得答案．
解：①有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，错误； ②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③有三角对应相等的两个直角三角形不一定全等，错误；
④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，正确；
故答案为：②④
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟记全等三角形的判定方法．灵活利用不同形状三角形分析是解题关键．
【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．
【分析】共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△DCB≌△C′DB，△AOB≌△C′OD．
解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB．（HL）
∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，
∴BC′=AD，BD=BD，∠C′=∠A．
∴△ABD≌△C′DB．（HL）
同理△DCB≌△C′DB．
∵∠A=∠C′，∠AOB=∠C′OD，AB=C′D，
∴△AOB≌△C′OD．（AAS）
所以共有四对全等三角形．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA．HL．
注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC⊥BC，AD⊥DB，即∠C=∠D=90°，AB为公共边，故添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C=∠D=90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【分析】在△ABC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB，利用HL定理即可判断△ABC≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等，即可求解．
解：在直角△ABC与直角△ADC中，BC=DC，AC=AC
∴△ABC≌△ADC
∴∠2=∠ACB
在△ABC中∠ACB=180°﹣∠B﹣∠1=50°
∴∠2=50°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形内角和定理．　
、解答题
【考点】全等三角形的性质和判定
【分析】首先证明BE=DF，然后依据HL可证明Rt△ADF≌Rt△CBE，从而可得到AF=CE．
解：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，即DF=BE，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】由∠1=∠2，根据等角对等边，可得BD=CD；在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD是公共边，根据HL定理可判定Rt△ABD≌Rt△ACD，进而得到∠ADB=∠ADC即AD平分∠BDC.
解：∵∠1=∠2
∴BD=CD???
∵AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD
∴∠ADB=∠ADC???
即AD平分∠BDC
【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据已知条件BE=CF，由线段的和差，得到BF=CE，根据HL得到Rt△ABF≌Rt△DCE.
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BC=CE，AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．
【考点】 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，即∠OCB=∠OBC，所以有OB=OC．
证明：∵∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB=∠DBC．
∴∠OCB=∠OBC．
∴OB=OC（等角对等边）．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质；由三角形全等得角相等，从而得到线段相等是证明题中常用的方法，注意掌握应用．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）如图，以C为圆心，BC长为半径画弧交AB于点B′，作BB′垂直平分线即可．同理以F为圆心，EF长为半径画弧交DE于点E′，作EE′垂直平分线即可．
（2）猜测△ABC和△DEF全等，易证∠A=∠D，再证明△ABC≌△DEF即可．
解：（1）如图所示：
（2）△ABC≌△DEF，理由如下：
在Rt△CGA和Rt△FHD中，
．
∴Rt△CGA≌△FHD（HL），
∴∠A=∠D．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．