人教新课标A版高中数学必修5第一章解三角形单元测试题（含解析）

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人教新课标A版高中数学必修5第一章解三角形单元测试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟。


题号 一 二 三 总分
得分

第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)


1.有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值．
其中正确的个数是(　　)
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
2.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是(　　)
A． 在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
B． 在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b
C． 在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；若A＞B，则sinA＞sinB都成立
D． 在△ABC中，＝
3.在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　)
A．
B． (10，＋∞)
C． (0,10)
D．
4.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A．asinA＝bsinB
B．acosA＝bcosB
C．asinB＝bsinA
D．acosB＝bcosA
5.在△ABC中，若tanA＝，C＝120°，BC＝2，则AB等于(　　)
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
6.在△ABC中，若B＝60°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．
B． 2
C．
D．
7.已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为(　　)
A． 60°
B． 90°
C． 120°
D． 150°
8.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB等于(　　)
A．
B．
C．
D．
9.在△ABC中，若a2＝bc，则角A是(　　)
A． 锐角
B． 钝角
C． 直角
D． 不确定
10.在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)A． (0，)
B． (，)
C． (，)
D． (，)
11.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)
A．
B．
C．
D． 9
12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题(共4小题,每小题4.0分,共16分)


13.在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最长边c的取值范围是________．
14.在△ABC中，a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝________.
15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，则c＝________.
16.若三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足等式＋＝b，则B＝______.
三、解答题(共6小题,第17-21题每小题12.0分,第22题14分，共74分)

17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值.



18.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin＝.
(1)求cosC的值；
(2)若△ABC的面积为，且sin2A＋sin2B＝sin2C，求a，b，c的值.


19.已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x－，x∈R.
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求△ABC的面积．


20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(2cos，sin)，n＝(cos，－2sin)，m·n＝－1.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．


21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．


22.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．



答案解析
1.【答案】B
【解析】正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，若三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比便确定了，故③正确．
2.【答案】B
【解析】由正弦定理易知A，C，D正确．
对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
3.【答案】D
【解析】　∵＝＝，∴c＝sinC.∴0
4.【答案】C
【解析】　由正弦定理＝，得asinB＝bsinA，故选C.
5.【答案】C
【解析】∵ tanA＝＝，sin2A＋cos2A＝1，
∴ sinA＝.
由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝5，故选C.
6.【答案】B
【解析】∵在△ABC中，B＝60°，AB＝2，AC＝2，
∴由正弦定理＝得，
sinC＝＝＝，
∴C＝30°，
∴A＝90°，
则S△ABC＝AB·AC·sinA＝2，
故选B.
7.【答案】C
【解析】　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cosC＝－，
∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
8.【答案】A
【解析】　由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.
由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，
∴4accosB＋ac＝0.
∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－，又B∈(0，π)，
∴sinB＝＝.
9.【答案】A
【解析】　∵cosA＝＝
＝>0，
∴0°10.【答案】D
【解析】由题意得sin2A再由正弦定理得a20.
则cosA＝>0，
∵0又∵a为最大边，∴A>.
因此得角A的取值范围是(，)．
11.【答案】B
【解析】设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设两边的夹角为θ，cosθ＝，
则sinθ＝.
∴2R＝＝＝.
12.【答案】C
【解析】利用正弦定理将角转化成边，sinA＝，sinB＝，sinC＝，R为△ABC外接圆半径，所以＝?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝.
13.【答案】(，3)
【解析】由余弦定理的推论，得cosC＝＝，
∵C是钝角，∴－1<<0，解得14.【答案】30°
【解析】由sinC＝2sinB，
根据正弦定理，得c＝2b，
把它代入a2－b2＝bc，
得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得
cosA＝＝＝＝，
又∵0°15.【答案】7
【解析】∵a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，
∴＝absinC＝×3bsin 120°，解得b＝5.
由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.
解得c＝7.
故答案为7.
16.【答案】60°
【解析】∵＋＝b，
∴a3－b3＋c3＋a2b－ab2＋c2b－b2c－abc＝0，
即(a＋b＋c)(a2＋c2－b2－ac)＝0.
又∵a，b，c表示边长，∴a＋b＋c≠0，
∴a2＋c2－b2－ac＝0.
由余弦定理的推论得cosB＝，∴B＝60°.
17.【答案】(1) 由余弦定理，得cosA＝＝－
＝－.
又∵0(2) 由(1)得sinA＝，又由正弦定理及a＝，
得S＝bcsinA
＝··asinC＝3sinBsinC，
∴S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)
＝3cos(B－C)，
当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3.
18.【答案】(1)cosC＝1－2sin2＝1－2×()2
＝1－＝－.
(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2.
由(1)可知cosC＝－，0∴sinC＝＝.
S△ABC＝absinC＝，得到ab＝6，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，
可得c2＝c2＋3＝16，c>0，∴c＝4，
由可得或
∴或
19.【答案】解　(1)f(x)＝sin 2x－－
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin(2x－)－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋.
∵x∈[0，π]，∴函数的单调增区间为[0，]，[，π]．
(2)∵f(C)＝0，∴sin(2C－)＝1.
又∵－<2C－<2π－，
∴2C－＝，∴C＝.
∵m与n共线，
∴1×sinB－2×sinA＝0，即sinB＝2sinA.
由正弦定理得b＝2a.
由余弦定理得()2＝a2＋(2a)2－2a·2a·cos，
化简得a2＝1，∴a＝1，∴b＝2.
∴S△ABC＝absinC＝.
20.【答案】(1)∵m＝(2cos，sin)，
n＝(cos，－2sin)，m·n＝－1，
∴2cos2－2sin2＝－1，∴2cosA＝－1，cosA＝－.
(2)由(1)知cosA＝－，又0＜A＜π，
∴A＝.
∵a＝2，b＝2，由正弦定理得＝，
即＝，
∴sinB＝.
∵0＜B＜π，B＜A，∴B＝，
∴C＝π－A－B＝，∴C＝B，∴c＝b＝2.
21.【答案】解　(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC,2cosCsin(A＋B)＝sinC，
故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝，所以C＝.
(2)由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.
22.【答案】解　∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，
∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得＝，
∴＝，
∴CP＝sinθ.
又＝，
∴OC＝sin(60°－θ)．
因此△POC的面积为
S(θ)＝CP·OCsin 120°
＝·sinθ·sin(60°－θ)×
＝sinθsin(60°－θ)
＝sinθ(cosθ－sinθ)
＝2sinθ·cosθ－sin2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin(2θ＋30°)－
∵0°<θ<60°，∴30°<2θ＋30°<150°，
∴当2θ＋30°＝90°，
即θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.