人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题（含解析）

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人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟。


题号 一 二 三 总分
得分

第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)


1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h或d≥10 m
B．
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
2.若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．a2＋b2≥2ab
B．a＋b≥2
C．a2＋b2≥(a＋b)2
D．＋<(a≠b)
3.设a＝2－1，b＝－1(t∈R)，则a与b的大小关系是(　　)
A．a≥b
B．a≤b
C．aD．a>b
4.不等式组的解集为(　　)
A． {x|－2B． {x|－1C． {x|0D． {x|x>1}
5.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为(　　)
A． (－3,1)　　　　　　　　　
B． [－3,1]
C． [－3，－1]
D． (－3，－1]
6.函数y＝的定义域是(　　)
A． {x|x<－4或x>3}
B． {x|－4C． {x|x≤－4或x≥3}
D． {x|－4≤x≤3}
7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A． (－2,2)
B． (－2,2]
C． (－∞，－2)∪[2，＋∞)
D． (－∞，2)
8.若a>0，b>0，则不等式－b<A． －B． －C．x<－或x>
D．x<－或x>
9.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A． (0，＋∞)
B． [0，＋∞)
C． [0,4)
D． (0,4)
10.在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是（ ）
A． （1，4）
B． （-1，4）
C． （-∞，4）
D． （4，+∞）
11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为(　　)

A． －3　
B． 3
C． －1
D． 1
12.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A． 0
B． 1
C．
D． 3
第ⅠⅠ卷
二、填空题(共4小题，每小题4.0分,共16分)


13.已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．
14.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．
15.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
16.设x，y为实数，若，则的最大值是________．
三、解答题(共6小题,第17-21题每小题12.0分,第22题14分，共74分)

17.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋ ≤ ＋＋xy；
(2)设1

18.已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.


19.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－(3－a)x＋2(1－a)(其中a∈R)．
(1)解关于x的不等式f(x)>0；
(2)若不等式f(x)≥x－3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．


20.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?
将已知数据列成下表：




21.已知实数x，y满足
(1)试求z＝的最大值和最小值；
(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．





22.已知函数．
(1) 当时，求函数f(x)的最小值；
(2) 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．


答案解析
1.【答案】B
【解析】考虑实际意义，知v≤120 km/h且d≥10 m.
2.【答案】D
【解析】显然有a2＋b2≥2ab，a＋b≥2，又a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)2，故选D.
3.【答案】B
【解析】∵t2≥0，∴t2－1≥－1，∵函数y＝2x在x∈R上是单调递增的，∴2－1≤－1，即a≤b，故选B.
4.【答案】C
【解析】由得
所以05.【答案】B
【解析】∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，∴b＝2，
∴f(x)≤0?x2＋2x－3≤0?(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.
6.【答案】C
【解析】由x2＋x－12≥0，即(x＋4)(x－3)≥0，x≥3或x≤－4.
7.【答案】B
8.【答案】D
【解析】－b<或x<－.
9.【答案】C
【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即010.【答案】D
【解析】取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.
11.【答案】A
【解析】－＝＝，∴a＝－3.
12.【答案】B
【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.
13.【答案】≥1－a
【解析】－(1－a)＝＋a－1＝＝，
∵|a|<1，即－10，a2≥0，∴≥0，故≥1－a.
14.【答案】[－2，)
【解析】由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，当a＝－2时，不等式化为－1<0，显然恒成立；当a≠－2时，则即－215.【答案】　
【解析】　直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a，
作出可行域后数形结合可解．
不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，

且A(1,1)，B(0,4)，C.
直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a.
由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.
若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，
数形结合可得≤a≤4.
16.【答案】
【解析】∵，∴，即
∴， ∴，即.
17.【答案】证明　(1)由于x≥1，y≥1，所以要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，
只需证[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]≥0，即(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy，
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋ ≤ ＋＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立．
18.【答案】证明　am＋n＋bm＋n－(ambn＋anbm)＝(am＋n－ambn)－(anbm－bm＋n)
＝am(an－bn)－bm(an－bn)＝(am－bm)(an－bn)．
当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；
当a0；
当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.
综上，(am－bm)(an－bn)≥0.
故am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
19.【答案】(1)f(x)＝(x－2)[x－(1－a)]，设函数f(x)＝0的两根为x1＝2，x1＝1－a，
且x1－x2＝2－1＋a＝a＋1，f(x)>0等价于(x－2)[x－(1－a)]>0，
于是当a<－1时，x1当a＝－1时，x1＝x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；
当a>－1时，x1>x2，原不等式的解集为(－∞，1－a)∪(2，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥x－3，即a≥－恒成立，
又当x>2时，－＝－(x－2＋)≤－2(当且仅当x＝3时取“＝”号)，
∴a≥－2.
20.【答案】每天食用食物Akg，食物Bkg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．
【解析】设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么
?
目标函数为z＝28x＋21y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，

把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－x＋，它表示斜率为－且随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．
如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
解方程组得M点的坐标为.
所以zmin＝28x＋21y＝16.
21.【答案】(1)z＝的最大值为3和最小值为；
(2)z＝x2＋y2的最大值为13和最小值为．
【解析】解　(1)由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)，∴zmax＝kMB＝3；
zmin＝kMC＝.
∴z的最大值为3，最小值为.

(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．
故zmax＝|OA|2＝13，zmin＝2＝2＝.
反思与感悟　当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．
22.【答案】
【解析】(1) ∵，∴, 当时取等号．即当时，.
(2)，恒成立，即,恒成立．
等价于在上恒成立，
令，，
∴，即.
∴的取值范围是