菱形的性质与判定
教材分析
《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。
在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。
教材分析
【知识与能力目标】
1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。
【过程与方法目标】
1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；
2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。
【情感态度价值观目标】
1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。
重点难点
【教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。
【教学难点】
菱形的性质定理证明、运用 ，生活数学与理论数学的相互转化。
课前准备
课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片；
教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。
教学过程
一、情景导入
1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？
2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。
二、合作探究
1. 既然菱形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
在同学回答的基础上进行归纳：
性质
类别
边
角
对角线
对称性
菱形
对边平行
且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
2.但菱形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。请与同伴进行交流。
做一做：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：
①菱形是轴对称图形，有两条对称轴。
②定理：菱形四条边相等。
③定理：菱形的对角线互相垂直。
④菱形的对角线平分每组对角。
3．提问：怎样证明你的猜想？
（教师写出两个定理的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）
订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O。
求证：(1)AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD。
证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）。
又∵AB=AD;
∴AB = BC = CD =AD。
（2）∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形。
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD。
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD， 即AC⊥BD。
4.思考 ：试证明AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC。
5.请你总结一下菱形有哪些性质？
归纳概括菱形的性质：
从对称性来说，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
从边来说，菱形的四边都相等，对边平行；
从角来说，菱形的对角相等，邻角互补；
从对角线来说，菱形的对角线互相垂直平分，且对角线平分每组对角；
6.口答：
（1）如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，图中的等腰三角
形有______________________________，
直角三角形有_____________________________ ，
而且它们是________（“全等”或“不全等”）。
（2）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360° B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分
三．典例精析
例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=6cm。
则：（1）BO=____________; (2)AC=_____________。
归纳：菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题。
例2：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
归纳：若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形。
四．当堂练习
1.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A.40 B.32 C.24 D.20
2.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
3.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE。
五．课堂小结
1.本节课你学到了什么？
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
/
（2）菱形的性质：
①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的对角线互相垂直平分；
④菱形的对角线平分每组对角。
课件16张PPT。复习回顾: 什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。平行四边形的性质：对称性：是中心对称图形。
边：对边平行且相等。
对角线：相互平分。
角：对角相等,邻角互补。 观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？平行四边形菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的定义： 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。想一想: 1、菱形与平行四边形有什么关系？菱形集合平行四边形集合菱形的性质： 归纳：合作探究： 想一想: 2、菱形还具有哪些特殊的性质？请与同伴交流。 做一做 请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线BD)。
2.定理：菱形四条边相等(AB=BC=CD=AD)。
3.定理：菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)。
4.菱形的对角线平分每组对角。ABCOD 发现菱形的特殊性质：已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O。
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD。 证明菱形的性质证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）。
又∵AB=AD ;
∴AB = BC = CD =AD。求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 （2）∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形。又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD。在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD， 即AC⊥BD。思考 ：试证明AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC。 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质。对称性：是轴对称图形。
边：四条边都相等。
对角线：互相垂直且平分每组对角。 对称性：是中心对称图形。
角：对角相等，邻角互补。
边：对边平行且相等。
对角线：相互平分。菱形的特殊性质平行四边形的性质总结归纳1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线
AC与BD 相交于点O，图中的等腰三角
形有______________________________，
直角三角形有_____________________________ ，而且它们是________（“全等”或“不全等”）。
口答：2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360°
B.对角线互相垂直
C.对边平行
D.对角线互相平分△ABD, △BCD，△ABC,△ADC△ABO，△ADO,△BCO,△CDO全等B例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=6cm。
则：（1）BO=____________;
(2)AC=_____________。典例精析BACDO3cm8cm 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题。 归纳：例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求
菱形的边长AB 和对角线AC 的长。
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形。
∴AB = BD = 6。 典例精析在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA 2 +OB 2=AB 2，
∴OA = = = 。
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）。 若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形。 归纳：1.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长
是（ ）
A.40 B.32 C.24 D.20
D当堂练习2.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F 分别
为BC，CD的中点，那么∠EAF 的度数是（ ）BA.75° B.60° C.45° D.30°3.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE。
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD。
∴∠BCE=∠DCE。
又 CE=CE，
∴△BC E≌△COB（SAS）。
∴∠CB E=∠CDE。
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC。
∴∠AFD=∠CBE。当堂练习 1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的对角线互相垂直平分；
④菱形的对角线平分每组对角。课堂小结：
