矩形的性质与判定
教材分析
《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。
教学目标
【知识与能力目标】
1、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
2、理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明 。
【过程与方法目标】
1、经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；
2、通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点。
【情感态度价值观目标】
1、在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。
3、从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。
重点难点
【教学重点】
掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。
【教学难点】
会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
教学准备
学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、矩形纸片；
教师准备课件，图片，三角板，一个活动的平行四边形教具。
教学过程
一、情景导入
1．复习：什么叫平行四边形？它有哪些性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义。
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矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
二、合作探究
探究点一：矩形的性质
1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
在同学回答的基础上进行归纳：
性质
类别
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角。
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等。
3．提问：怎样证明你的猜想？
（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）
订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
4.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。??
①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？
②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?
结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？
归纳概括矩形的性质：
从边来说，矩形的对边平行且相等；
从角来说，矩形的四个角都是直角；
从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；
从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
三．典例精析
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD(矩形的对角线相等)
OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°)= 30°。
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)
∴BD=2AB=2×2.5=5。
四．直角三角形斜边上的中线上的性质
（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？
（2）教师板书推论及推理语言：
?定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
（3）练一练
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
例2：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE。
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理。
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵点G是BC的中点，
∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC.
∴EG＝DG。
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE。
五．课堂小结
1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（2）矩形的性质。
（3）直角三角形的性质。
（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。
课件18张PPT。两组对边分别平行四边形平行四边形知识回顾平行四边形有哪些性质?边：对边平行且相等角：对角相等，邻角互补对角线：对角线互相平分活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察。矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形矩形的定义平行四边形有一个角是直角矩形矩形的定义矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。归纳：矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形。菱形集合平行四边形集合矩形集合生活有许多矩形形象的物品，你能举出一些例子吗？探究矩形的性质 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所以性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想1：矩形的四个角都是直角。猜想2：矩形的对角线相等。证明：（1）∵四边形ABCD是矩形。
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线)
AB∥DC(矩形的对边平行)。
∴∠ABC+∠BCD=180°。
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°。求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等。已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线 AC与DB相较于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
（2）AC=DB。ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°。证明猜想(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等)。
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB。
∴AC=DB。 定理 1.矩形的四个角都是直角。
2.矩形的对角线相等。ABCDO做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考。??
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质：
对称性：
对称轴： 轴对称图形2条归纳结论 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质。对称性：是轴对称图形。
角：四条角都是90°。
对角线：相等。角：对角相等。
边：对边平行且相等。
对角线：相交并相互平分。矩形的特殊性质平行四边形的性质例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长。解：∵四边形ABCD是矩形。
∴AC = BD(矩形的对角线相等)。
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD。ABCDO典例精析∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°。
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5。提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5。你还有其他解法吗？已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E。
证明：在Rt△ABC中,BE= AC。ABCDE证明：∵四边形ABCD是矩形。
∴AC = BD(矩形的对角线相等)。
BE= DE= BD,AE=CE= AC (矩形对角线相互平分),
∴BE= AC。定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 练一练：根据右图填空1.已知△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线。
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则
AC =_____cm, BD = _____cm。D6105例2：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE 的中点，试说明GF⊥DE。
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵点G是BC的中点，
∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC.
∴EG＝DG。
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE。
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理。1.矩形是轴对称图形和中心对称图形2.矩形四个角都是直角3.矩形的对角线相等且相互平分性质有一个角是直角转换直角三角形等腰三角形课堂小结平行四边形矩形
