正方形的性质与判定
教材分析
本节教材基于学生对特殊平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：掌握正方形判定定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系，但这仅仅是这堂课外显的近期目标。
本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎推理教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
教学目标
【知识与能力目标】
1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。
3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
【过程与方法目标】
1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。
【情感态度价值观目标】
通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。
教学重难点
【教学重点】
掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
【教学难点】
熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明。
教学准备
学生每人准备好草稿纸、铅笔、三角板；教师准备课件，图片，三角板。
教学过程
一、情境导入
1、正方形的定义
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
二、合作探究
活动内容：
问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠、思考、剪切）
活动目的：
因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角。
活动的注意事项：
部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到。
本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结。
正方形的判定定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
教师课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。
三、例题精讲
活动内容：
四：猜想结论，分组验证
活动内容1：
图1-8-1 图1-8-2 图1-8-3
问题：1.如图，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=60°，则∠A= . ②若EF=8cm, 则AC= .
2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？
3.四边形EFGH的形状有什么特征？
活动内容2：
问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。
图1-8-4 图1-8-5 图1-8-6 图1-8-7
得出结论：
平行四边形的中点四边形是平行四边形；
矩形的中点四边形是菱形；
菱形的中点四边形是矩形；
正方形的中点四边形是正方形；
例题精讲
已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的中点，并且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.求证：四边形EFGH是正方形.
图1-22
活动内容3：
问题：1. 等腰梯形的中点四边形也是菱形，而矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么它们的中点四边形都由平行四边形变化为菱形？
2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？
3.你是从什么角度考虑的？你从哪儿得到的启发？
4.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？
概括出规律：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形；
若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形；
若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形；
若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形。
图1-8-8 图1-8-9 图1-8-10 图1-8-11
五：学以致用（参考）
活动内容：（图形发散练习）本部分成绩好的基础好的班级可以讲解。
利用几何画板，拖动A点使四边形ABCD的图形变化进行研究。
图1-8-12 图1-8-13 图1-8-14 图1-8-15
六：课堂小结
活动内容：
1．本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？
2．通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？
课件18张PPT。一个角是直角有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等正方形的对边平行且相等正方形的四个角都是直角边对角线角正方形的定义：正方形的性质一组邻边相等第一环节 情景引入 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？ 第二环节 合作探究正方形的判定定理：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形。
2.对角线互相垂直的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
4.对角线相等的菱形是正方形。
第三环节 例题精讲第四环节 猜想结论，分组验证 1.如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=60°，
则∠A= .
②若EF=8cm,
则AC = . 2.在AC的下方找一点D, 做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？思考：四边形EFGH的形状有什么特征？
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 特殊四边形的中点四边形：平行四边形的中点四边形是平行四边形菱形的中点四边形是矩形矩形的中点四边形是菱形正方形的中点四边形是正方形归纳：
特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上
的中点，并且E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、AD
的中点.求证：四边形EFGH是正方形。问题：
1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点
四边形都由平行四边形变化为菱形？
2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？
3.你是从什么角度考虑的？你从哪儿得到的启发？
4.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？
例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形。对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形对角线相等的四边形的中点四边形是菱形对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形归纳：
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。第五环节 学以致用 ABCD是
凸四边形AB、AD在同一线段上ABCD是
凹四边形ABCD是
扭曲四边形拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形。 第六环节 课堂小结 1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？
2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？第七环节 布置作业 必做：
1.习题1.8（1、2、3）
2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本 图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。
选做：习题1.8（4）
