应用一元二次方程
教材分析
本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
教学目标
【知识与能力目标】
通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
【过程与方法目标】
1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
【情感态度价值观目标】
在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
重点难点
【教学重点】
能够利用一元二次方程解决有关实际问题。
【教学难点】
分析和建模的过程。
教学过程
一、复习导入
（一）回忆：用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边配方,右边合并同类项;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解。
（二）一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
二、探索新知
（一）认识黄金分割
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比。
/
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成AC2=AB·BC。
如何求得黄金分割？
（二）做一做，探一探
例1 ：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解。
解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。
在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：
（1）要求DE的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰=2×V补给船
时间等量：t军舰=t补给船
三边数量关系：
弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程。
学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性。
解:（1）连接DF,则DF⊥BC。
（2）设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海里,
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里。
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
例2：《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何？”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3；乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远？”
/
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
（7x-10）2=（3x）2 +102。
整理得:2x2-7x=0。
解这个方程 ,得∴x1=3.5, x2=0（不合题意,舍去）。
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5。
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步。
例3：绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
/
例4：学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸。经试验, 彩纸面积为相片面积的时较美观,求镶上彩纸条的宽。（精确到0.1厘米）
/
答:彩纸条的宽约为2.1cm。
【活动目的】：一元二次方程的应用问题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长（或降低）率问题、利润问题、数形结合问题等；本节课以教材上的引例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，在第二课时在利润问题上也可增加平均增长率问题等，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会建模的重要性。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册中的“二次函数”的应用联系密切，所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。
【活动实际效果】：应用问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。
三、学以致用
1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱？
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们的速度都是1m/s。几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？
/
解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半。
根据题意，得
答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。
3.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元。为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张。商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元？
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册。求这两年的年平均增长率。
（不合题意，舍去）。
答：这两年的年平均增长率约为22.47%。
四：课堂小结
活动内容：
1．本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？
2．通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么？已知,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位（统一）的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程；
4.解:解所列的方程；
5.验:是否是所列方程的根；是否符合题意；
6.答:答案也必须是完整的语句,注明单位且要贴近生活。
列方程解应用题的关键是:
找出相等关系。
课件17张PPT。用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边配方,右边合并同类项;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解。复习引入一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。复习引入你知道黄金比为什么是0.618吗?其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC。其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成AC2=AB·BC。 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比。探索新知如何求得黄金分割？探索新知 例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向。一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。（1）小岛D与小岛F相距多少海里?
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)探索新知解:（1）连接DF,则DF⊥BC。∠C=450 探索新知解:（2）设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海里,
EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里。
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程探索新知例2：《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会。问甲乙各行几何?”解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得(7x-10)2=(3x)2 +102∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去)。答:甲走了24.5步,乙走了10.5步。大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3。一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时,甲,乙各走了多远?”整理得:2x2-7x=0。解这个方程 ,得∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5探索新知例3：绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?探索新知答:彩纸条的宽约为2.1cm。例4：学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸。经试验, 彩纸面积为相片面积的 时较美观,求镶上彩纸条的宽。 (精确到0.1厘米)探索新知1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱?学以致用2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半?解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半。
根据题意，得答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。学以致用3.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均每天能售出500张,每张盈利0.3元。为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张。商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价多少元?学以致用4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册。求这两年的年平均增长率。（不合题意，舍去）。答：这两年的年平均增长率约为22.47%。学以致用列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必须是完整的语句,注明单位且要贴近生活。
列方程解应用题的关键是:
找出相等关系。课堂小结谢 谢
