23.1.1 正切(要点讲解+当堂检测+答案) 第1课时

沪科版数学九年级上册同步学案
第23章　解直角三角形
23.1　锐角的三角函数
23.1.1　锐角的三角函数
第1课时　正　切
要 点 讲 解
要点一　正切的定义
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.
经典例题1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，AB＝3，求tan∠BCD的值.
解析：本题有两种解法：一种是在Rt△BCD中求tan∠BCD，这需要我们利用△BCD∽△BAC求出△BCD的两直角边长；一种是利用∠BCD＝∠A的关系，在Rt△ABC中求tanA(即tan∠BCD).
解：解法一：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝，
∵∠DBC＝∠ABC，∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝ .
解得BD＝，CD＝2.
∴tan∠BCD＝＝.
解法二：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝，
∵∠BCD＋∠ACD＝∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A.
∴tan∠BCD＝tanA＝＝＝.
点拨：对比以上两种解法，可知解法二更简单一些，因此在解题过程中，可把求一个角的正切值转化为求与它相等的角的正切值.
要点二　坡度(坡比)、坡角
1. 定义：如图，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫坡度(或坡比)，坡度一般用i表示，i＝tanα＝.
2. 坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
(1)坡度的大小只与坡角α的大小有关，与坡面的长短无关.
(2)坡度即是坡角α的正切值，这一关系在解题过程应用广泛.
经典例题2　河堤横断面如图，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(　　　)
A. 12米　 　　　 B. 4米　 C. 5米　 D. 6米
解析：先由坡比的定义，得BC∶AC＝1∶.由BC＝6米，可得AC＝6米.由勾股定理，得AB＝＝12米.
答案：A
当 堂 检 测
1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为(　　)
A. 2 B.  C.  D. 

第1题 第2题
2. 如图，已知一商场自动扶梯l为10m，该自动扶梯到达的高度h为6m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值是(　　)
A.  B.  C.  D. 
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(　　)
A.  B. 3 C.  D. 2
4. 某人沿斜坡前进40m时，正好水平移了20m，则该斜坡的坡度是　 　.
5. 小明沿着坡度为i＝1∶的山坡向上走了100m，此时他上升了 m.
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，求tanA与tanB的值.

7. 如图所示是甲、乙两个楼道的阶梯，请通过计算解决下列问题：
(1)哪一个楼道的阶梯比较陡？
(2)如果每阶台阶的高不超过20cm，那么甲楼道阶梯至少有多少阶？
甲 乙
当堂检测参考答案
1. B 2. A 3. D
4. 
5. 50
6. 解：∵AB＝5，BC＝，∵AC＝＝＝2.∴tanA＝＝＝，tanB＝＝＝2.
7. 解：(1)∵BC＝＝4(m)，∴tanB＝，又∵tanB′＝＝，而＞，∴甲楼道的阶梯较陡.　
(2)∵在Rt△ABC中，∴AC＝3m＝300cm.设甲楼道阶梯有x阶，则20x≥300，x≥15，∴甲楼道阶梯至少有15阶.