23.1.1 正弦和余弦(要点讲解+当堂检测+答案) 第2课时

沪科版数学九年级上册同步学案
第23章　解直角三角形
23.1　锐角的三角函数
23.1.1　锐角的三角函数
第2课时　正弦和余弦
要 点 讲 解
要点一　正弦的定义
在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝.
经典例题1　如图1，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝________.
图1 图2
解析：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，由勾股定理，得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，可以得知△ABC是等腰三角形，由△ABC的面积公式，得BC·AD＝AB·CE，∴CE＝＝，∴sinA＝＝＝.
答案：
要点二　余弦的定义
在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝.
经典例题2　如图所示，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 
解析：根据锐角余弦的定义，把∠α放置在直角三角形中求解，∠α不仅是Rt△BCD中的一个锐角，而且是Rt△ABC中的一个锐角.由“同角的余角相等”可知∠α＝∠ACD，所以∠ACD的余弦值等于∠α的余弦值.故表示cosα的值，错误的是C.
答案：C
要点三　锐角的三角函数
定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数.
(1)正弦、余弦的概念是类比正切得到的，它们的本质都是两条线段长度的比值，是数值，没有单位，只与角的大小有关.
(2)由于直角三角形的斜边长大于直角边长，且各边长均为正数，所以有0<<1，0<<1，所以0(3)根据正弦、余弦的概念，我们既可以求锐角的正弦值、余弦值，也可以根据已知的正弦值、余弦值求线段的长.
经典例题3　在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为(　　　)
A. 　　 B.  C.  D. 
解析：如图，sinA＝＝.设BC＝5x，则AB＝13x，根据勾股定理，得AC＝12x，∴cosA＝＝＝.
答案：D
易错易混警示　对锐角三角函数的定义理解不透彻
经典例题4　在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C分别对应a，b，c，其中a＝3，c＝5，求sinA.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴b为斜边.∴b＝＝＝，∴sinA＝＝＝.
点拨：本例易忽略∠B＝90°的条件，受∠C＝90°的思维定式的影响，容易错解成sinA＝＝，所以在解题时应明确直角三角形的直角边和斜边.
当 堂 检 测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(　　)
A.  B.  C.  D. 
2. 如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的余弦值(　　)
A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的
C. 不变 D. 不能确定
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(　　)
A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. tanB＝
4. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，若sinC＝，则BC的长度为 .
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝2；④sinB＝，其中正确的是 (填序号).
6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，试求锐角A的三角函数值.

7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，试求∠DAC的三角函数值.

当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. A
4. 10
5. ②③
6. 解：由已知和勾股定理，得：AB＝＝3.∴tanA＝＝＝，sinA＝＝＝，cosA＝＝＝.
7. 解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16cm，BD＝12cm，∴AO＝8cm，DO＝6cm，AC⊥BD，∴AD＝＝10(cm)，∴sin∠DAC＝＝，cos∠DAC＝＝，tan∠DAC＝＝.