23.1.2 互余两角三角函数的关系(要点讲解+当堂检测+答案) 第2课时

沪科版数学九年级上册同步学案
第23章　解直角三角形
23.1　锐角的三角函数
23.1.2　30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时　互余两角三角函数的关系
要 点 讲 解
要点　互余两角三角函数的关系
通过对比特殊角的正弦、余弦之间的关系，根据锐角三角函数的概念我们可以得到互余两角的正弦、余弦之间的关系：任意锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值，可以表示为：
(1)sinA＝cos(90°－A)，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；
(2)cosA＝sin(90°－A)，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
(3)tanA＝，即一个锐角的正切值等于它的余角的正切值的倒数.
经典例题1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于(　　　)
A. 　　　 B.  C. 　　 D. 
解析：此题可构造Rt△ABC，利用余弦函数定义，求出∠B的邻边与斜边的关系即可求出cosB.若利用互余两锐角的正、余弦关系，则十分简捷.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴cosB＝sinA＝.
答案：B
点拨：(1)要灵活运用互为余角的概念，∠A的余角是(90°－∠A)，(90°－∠A)的余角是∠A；　(2)sinA＝cos(90°－∠A)，是指∠A的正弦值与∠A的余角(90°－∠A)的余弦值相等.
易错易混警示　应用互余两角的三角函数关系时，书写格式出现错误
经典例题2　把sin20°改写成余角的余弦的形式.
解：sin20°＝sin(90°－70°)＝cos70°.
点拨：对此类问题，常出现sin20°＝sin(90°－20°)＝cos70°的错误，第一步实际上就是sin20°＝sin70°，第二步实际上就是sin70°＝cos70°，这样分析错误就非常明显了.

当 堂 检 测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是(　　)
A.  B. 2 C.  D. 3
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为(　　)
A.  B.  C.  D. 
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：①sinA＝cosB；②sin2A＋cos2A＝1；③tanB＝；其中正确的是(　　)
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
4. 若角α，β都是锐角，以下结论：①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ. 其中正确的是(　　)
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
5. 在Rt△ACB中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB的值是(　　)
A.  B.  C.  D. 
6. 若α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝　　°.
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝　 　.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ.其中正确的结论有 .
9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cosA，sinB，cosB.
10. 在△ABC中，
(1)若∠C＝90°，cosA＝，求sinB的值；
(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB大小，说明理由.
当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. D 4. C 5. A
6. 75
7. 
8. ①②③④
9. 解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴cosA＝＝，∵∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝，cosB＝sinA＝.
10. 解：(1)∵在直角△ABC中，∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝.　
(2)∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°，∴cosA＜sinB.