23.2 解直角三角形(要点讲解+当堂检测+答案) 第1课时

沪科版数学九年级上册同步学案
第23章　解直角三角形
23.2　解直角三角形及其应用
第1课时　解直角三角形
要 点 讲 解
要点　解直角三角形
1. 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2. 解直角三角形的主要依据——直角三角形的性质.
(1)直角三角形的两锐角互余；(2)两直角边的平方和等于斜边的平方.
3. 解直角三角形的类型
图形
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边，一直角边(如c，a)
(1)b＝；
(2)由sinA＝求∠A；
(3)∠B＝90°－∠A
两直角边(如a，b)
(1)c＝；
(2)由tanA＝求∠A；
(3)∠B＝90°－∠A
一边一角
斜边，一锐角(如c，∠A)
(1)∠B＝90°－∠A；
(2)由sinA＝求a；
(3)由cosA＝求b
一直角边，一锐角(如a，∠A)
(1)∠B＝90°－∠A；
(2)由tanA＝求b；
(3)由sinA＝求c
经典例题1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.解下列直角三角形：
(1)c＝8，∠A＝60°
(2)b＝2，c＝4
解析：(1)已知一个锐角A和斜边c，求另一个锐角B用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余弦.(2)已知一直角边和斜边，求另一直角边用勾股定理，求两锐角用正弦或余弦.
解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵sinA＝，∴a＝csinA＝8×＝4.
∵cosA＝，∴b＝ccosA＝8×＝4.
(2)∵a2＋b2＝c2，∴a＝＝＝2.
∵cosA＝＝＝，
∴∠A＝45°.∴∠B＝45°.
点拨：(1)在直角三角形中，若已知一锐角和斜边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、余弦)求出两条直角边.(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和其相邻的直角边，则可用余弦求出其斜边，用正切求出其对边.
易错易混警示　思考问题不全面导致漏解
经典例题2　在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长.
解：(1)如图(1)所示，过A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴AD＝AB·sinB＝4·sin60°＝4×＝2，
BD＝AB·cos60°＝4×＝2.
又∵AC＝，
∴在Rt△ADC中，DC＝＝＝1.∴BC＝BD＋DC＝2＋1＝3.
　　　
图(1) 图(2)
(2)如图(2)所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
AD＝AB·sin60°＝4×＝2，
BD＝AB·cos60°＝4×＝2.
在Rt△ACD中，AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝＝1，
∴BC＝BD－CD＝2－1＝1.
综上所述，BC的长为3或1.
点拨：本题中三角形的形状不确定，所以应该分两种情况来考虑问题.本题易出现只考虑△ABC为锐角三角形，而忽略△ABC为钝角三角形的情况.

当 堂 检 测
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，则AC的长是(　　)
A. 18 B. 2 C.  D. 
2. △ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是(　　)
A.  B.  C.  D. 

第2题 第3题
3. 如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值(　　)
A. 0.5 B. 1.5 C. 4.5 D. 2　
4. 在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝，则下列所解该直角三角形的结果中完全正确的一组是(　　)
A. ∠A＝30°，∠B＝60°，b＝ B. ∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C. ∠A＝45°，∠B＝45°，b＝ D. ∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
5. 在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，AC＝1，则∠ACB为 度.
6. 在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是　 　.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E.如果BC＝8，tanA＝，那么BD＝　 　.
8. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝6.求AB的长.

当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. C 4. C
5. 120或60
6. 
7. 
8. 解：过点C作CD⊥AB于点D.∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC?cosA＝9，∵cosB＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝，∴BD＝4，∴AB＝AD＋BD＝9＋4.