3. 3.1函数的单调性与导数
课前预习学案
一、预习目标
了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系，会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象
二、预习内容
怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________
例如判断函数y=x2的单调性：
想一想：怎样判断函数y=x3-3x的单调性呢？
函数单调性与导数的关系：
函数及图象
单调性
导数的正负
在上递减
在上递增
在(a,b)上递增
在(a,b)上递减
结论：对于函数f(x)，在某个区间（a，b）内，
__________________________________________
___________________________________________
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系
2.会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象
学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程
(一)知识回顾：
怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________
例如判断函数y=x2的单调性：
想一想：怎样判断函数y=x3-3x的单调性呢？
函数单调性与导数的关系：
函数及图像
单调性
导数的正负
在上递减
在上递增
在(a,b)上递增
在(a,b)上递减
结论：对于函数f(x)，在某个区间（a，b）内，
__________________________________________
___________________________________________
（二）探究一：讨论函数单调性，求函数单调区间：
1、(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。
(2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为___________函数，
在(－∞,1]上为_____________函数，在[1,2]上为___________函数。
2、求函数y = x2－3x的单调区间。
探究二：变式1：求函数y =3 x3－3x2的单调区间。
变式2：求函数y=3ex-3x的单调区间。
变式3：求函数的单调区间。
（三）反思总结
请同学们归纳利用导数求函数单调区间的步骤：
能力提高：
已知函数，试讨论此函数的单调区间：
(四)当堂检测
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为，
则a的取值范围为( )
(A) a>0 (B) –1
1 (D) 03、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )
(A)单调递增函数 (B)单调递减函数
(C)部份单调增，部分单调减 (D)单调性不能确定
4确定函数大致图像：
已知函数f(x)的导函数的下列信息，试画出函数f(x)的大致形状。
(1)当2(2)当x>3或x<2时，>0；
(3)当x=3或x=2时，=0；
课后练习与提高
1、以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2、函数y=x2（x－3）的增区间是________________________
3、函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足的关系式为________________
说一说，这节课你学到了什么？
学校： 一中 学科：数学 编写人：张艳敏 审稿人：张林
§3.3.1函数的单调性与导数
一、教学目标
知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系 ； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间
教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间
三、教学过程：
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问
1．判断函数的单调性有哪些方法？
（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2．比如，要判断 y=x2 的单调性，如
何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）
3．还有没有其它方法？如果遇到函数：
y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时
间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，
作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）
4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。
以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
（探索函数的单调性和导数的关系） 问：函数的单调性和导数有何关系呢？
教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：
函数及图象 单调性 切线斜率k的正负 导数的正负
问：有何发现？（学生回答）
问：这个结果是否具有一般性呢？
（三）合作探究、精讲点拨。
我们来考察两个一般性的例子：
（教师指导学生动手实验：把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）
问：能否得出什么规律？
让学生归纳总结，教师简单板书：
在某个区间(a，b)内，
若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；
若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。
教师说明：
要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。
1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。
2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
3．得出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。
4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。
应用导数求函数的单调区间
例1．求函数y=x2－3x的单调区间。
（引导学生得出解题思路：求导 →
令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 下结论）
变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。
（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）
求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：
设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤
设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。
巩固提高
变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。
（学生上黑板解答）
变式3：求函数 的单调区间。
设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。
设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性
例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) ，
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。
变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。
变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。
变式3：求函数 的单调区间。
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
§3.3导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．
2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．
3．求函数单调区间的步骤和方法
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)确定f(x)的单调区间．
一、选择题
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．sin x B．xex
C．x3－x D．ln x－x
4．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
5．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
6．函数y＝ax－ln x在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为( )
A．(－∞，0]∪[2，＋∞) B．(－∞，0]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．
8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．
9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．
三、解答题
10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．
11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．
(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
能力提升
12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．
13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．
2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．
§3.3 导数在研究函数中的应用
3．3.1 函数的单调性与导数
答案
知识梳理
1．f′(x)>0 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0
2．变化得快 陡峭 平缓
作业设计
1．A [f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．A [因为f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)≥0.]
3．B [A中，y′＝cos x，当x>0时，y′的符号不确定；B中，y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当x>0时，y′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C中：y′＝3x2－1，当x>0时，y′>－1；D中，y′＝－1，当x>0时，y′>－1.]
4．A [f′(x)＝2－cos x，∵cos x≤1，
∴f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]
5．C [当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
∴f(1)>f(2)．
当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
∴f(0)因此f(0)＋f(2)<2f(1)．]
6．C [∵y′＝a－，函数y＝ax－ln x在内单调递增，
∴函数在(，＋∞)上y′≥0，即a－≥0，
∴a≥.由x>得<2，
要使a≥恒成立，只需a≥2.]
7．(－1,11)
解析 ∵f′(x)＝3x2－30x－33
＝3(x＋1)(x－11)．
由f′(x)<0，得－1∴f(x)的单减区间为(－1,11)．
8．(－∞，－3]
解析 f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立
?，即，
∴a≤－3.
9．[1，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝cos x＋a≥0，∴a≥－cos x，
又－1≤cos x≤1，∴a≥1.
10．解 由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝4x－＝，
由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，
得0∴函数f(x)＝2x2－ln x的单调增区间为，单调减区间为.
11．解 (1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题设知－1∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，
∴－1＋2＝－b，(－1)×2＝，
即b＝－，c＝－6.
(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.
∴a的取值范围为(－∞，0)．
12．解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－1解得x＝，
则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－113．解 (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.
(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．
因为－1当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修1-1
了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。
2、? 过程与方法
通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
3、? 情感、态度与价值观
通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。
教学重难点
重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。
难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系
教学过程
一、 复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
；；；
2.法则1 ．
法则2 ,
法则3
二、 讲授新课
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．
在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）； （2）
（3）； （4）
解：（1）因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为，所以 ．
当，即 时，函数 ；
当，即 时，函数 ；
函数的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，
在或内的图像“平缓”．
例4．求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：证明可导函数在内的单调性步骤：
（1）求导函数；
（2）判断在内的符号；
（3）做出结论：为增函数，为减函数．
例5．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′
=1－1·x－2=
令＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
五、课堂小结 ：
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
六、课后作业：
课本 习题3.3 A组 1，2
【思考题】
对于函数f(x)=2x3－6x2+7
思考1、能不能画出该函数的草图？
思考2、在区间（0，2）内有几个解？
1．确定下列函数的单调区间
(1) (2)
2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图象如图3－3－4所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图3－3－4
【解析】 由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.
【答案】 D
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
【解析】 ∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
【答案】 A
3．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
【解析】 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3【答案】 D
4．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)【答案】 A
5．(2018·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．
【答案】 D
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.
【解析】 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1【答案】 － －6
7．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为________．
【解析】 y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.
而a＝0时，y＝－1，不是减函数，∴a<0.
【答案】 a<0
8．在下列命题中，真命题是________．(填序号)
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.
【解析】 对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．
【答案】 ③
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈(0,2π)；
(2)f(x)＝2x－ln x.
【解】 (1)∵f′(x)＝＋cos x，
令f′(x)>0，得＋cos x>0，即cos x>－.
又∵x∈(0,2π)，∴0同理，令f′(x)<0，得π∴该函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
其导函数为f′(x)＝2－.
令2－>0，解得x>；
令2－<0，解得0∴该函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a的取值范围．
【解】 函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的取值范围为[5,7]．
[能力提升]
1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是( )
图3－3－5
【解析】 由题图可知，当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－10，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当01时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.
【答案】 C
2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( )
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
【解析】 ∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当a＜x＜b时，f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．故选C.
【答案】 C
3．若函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝－ax－2＝－.
因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．
又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解．
①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，
ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；
②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，
若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，
则
解得－1≤a<0；
③当a＝0时，显然符合题意．
综合上述，a的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】 [－1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，又a＝0时，f′(x)＝3x2不恒为0，∴a≤0.
(2)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2课件41张PPT。
第3章 导数及应用
3.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数内容：利用导数研究函数的单调性应用利用导函数判断原函数大致图象利用导数求函数的单调区间从导数的角度解释增减及增减快慢的情况有关含参数的函数单调性问题本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间．
采用例题与变式练习相结合的方法，通过4个例题探讨利用导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。动画剪纸之对称性 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?创设情景:复习引入：一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于
区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2) (作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论
3.研究函数的单调区间你有哪些方法?（1）观察法:观察图象的变化趋势;
（2）定义法: 4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?（产生认知冲突）发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．引导：随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小?函数的单调性可简单的认为是：说明函数的变化率可以反映函数的单调性，
即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?
观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系 2.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,
即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.如果 ,
那么函数 在这个区间内单调递增;
如果 ,
那么函数 在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.结论：在某个区间(a,b)内,函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是： 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)<0, 则f(x)在这个区间为增函数;则f(x)在这个区间为减函数.如果f′(x)>0, 函数的单调性与导数的关系: 例1、已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。 利用导函数判断原函数大致图象解:大体图象为已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。 利用导数求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间． 根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数f′(x)3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 从导数的角度解释增减及增减快慢的情况解: (1)→(B),(2) →(A),(3)→(D),(4) →(C) 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 有关含参数的函数单调性问题 (1)函数的单调性与导数的关系;
如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况;数学知识：(2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤:
①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）;
②求导数f′(x);
③得结论: f′(x)>且在定义域内的为增区间; f′(x)<0且在定义域内的为减区间．
数学思想：数形结合和转化思想．(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:
若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.
然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.必做题1.求下列函数的单调区间： 选做题 课件43张PPT。3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数自主学习 新知突破1．掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们纷纷研究这位传奇的“F1之王”．研究发现，其除了超群的技术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈现一定的规律性．
[问题1] 在某个时间段内速度连续增加，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为正呢？
[提示1] f′(t)>0.
[问题2] 在某个时间段内速度连续减少，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为负呢？
[提示2] f′(t)<0.函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系递增递减常数上述结论可用图来直观理解．1．深入理解导数与单调性的关系
在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
2．对导数法研究函数单调性的两点注意：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
解析： f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0得0答案： D2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析： 由y＝f′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．
答案： C3．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是________．4．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R.若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．合作探究 课堂互动求函数的单调区间 [思路点拨] 对(1)，求导后，应注意a的讨论． (1)求函数单调区间的步骤：
(2)含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论． 1．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－6x；
(2)f(x)＝3x2－2ln x.函数与导函数图象之间的关系 设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
[思路点拨] 根据函数的单调性与其导数的正负之间的关系作判断．解析： 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A符合题意．
同理，选项B，C也符合题意．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．
答案： D (1)注意图形语言、符号语言之间的转化及应用．在某个区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)也就是f′(x)的图象在x轴的上方(或下方)，则函数在该区间内是增函数(或减函数)．
(2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．2．已知导函数f′(x)的下列信息：
当－1当x>3，或x<－1时，f′(x)>0；
当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．解析： 如下图：
当－1当x>3，或x<－1时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)的图象的大致形状如上图所示．已知函数单调性求参数范围 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．3．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求a的取值范围．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
【错因】 没有考虑到f′(x)＝0的情况．f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而非充要条件．利用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)求解后，要验证端点能否使f′(x)恒等于0.谢谢观看！