3. 3.2函数的极值与导数
课前预习学案
一、预习目标
了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值
二、预习内容
已知函数 f(x)=
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系
2.会利用导数求函数的极值
学习重难点：导数与函数极值的关系。
二、学习过程
(一)知识回顾：
1、已知函数 f(x)=
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？
2、观察图像，哪些是极大值? 哪些是极大值点? 哪些是极小值? 哪些是极小值点?
概念：什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?什么是极值
极大值:
极大值点:
极小值:
极小值点：
极值：
思考与总结:1.极值是最大值或最小值吗？
2.函数的极值是不是唯一的？
3.极大值一定比极小值大吗？举例说明.
4.点是极值点是在该 点的导数为0的什么条件？举例说明
5.判别f(x0)是极大、极小值的方法是怎样的？
6、函数的极值点能否出现在区间的内部,区间的端点能否成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点能在区间的内部,也可能在区间的端点吗.
（二）探究一、例1．（课本例4）求的极值
探究二、例2求y=(x2－1)3+1的极值
探究三、例3 设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
（三）反思总结
请同学们归纳利用导数求函数极值的步骤：
(四)当堂检测
已知函数，
（1）求函数的的极值并画出函数的大致图像，
（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
求f（x）＝x3－3 x2－9 x ＋5在[－4，4]上的最大值和最小值.
课后练习与提高
1、下列说法正确的是( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜，则f(x)无极值
D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
2、函数y=1 +3x－x3有( )
A.极小值－1，极大值1
B.极小值－2，极大值3
C.极小值－2，极大值2
D 极小值－1，极大值3
3求函数y=x3－27x的极值
说一说，这节课你学到了什么？
§3.3.2函数的极值与导数
一、教学目标
知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤；
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
三、教学过程：
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
1、有关概念
(1).极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
(3).极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间
无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）
(3)检查 f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值
（三）合作探究、精讲点拨。
例1．（课本例4）求的极值
解： 因为，所以。
令，得
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.
当x变化时， ，的变化情况如下表：
—2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，=；
=。
函数的图像如图所示。
例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
－
0
－
0
+
0
+
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
例3 设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有?，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表：
-1
(-1,1)
1
+
0
－
0
+
↗
极大值1
↘
极小值
－1
↗
由上表可知， ，
（学生上黑板解答）
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录)
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
极大值:
极大值点:
极小值:
极小值点：
极值：
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
3.3.2 函数的极值与导数
课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________．
我们把点a叫做函数y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数y＝f(x)的__________；点b叫做函数y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质．
2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．
3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是__________；
(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是__________；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．
一、选择题
1. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
3．函数f(x)＝x＋在x>0时有( )
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
4．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
A．0
0 D．b<
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.
8．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
9．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
三、解答题
10．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.
11．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.
1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．
3．3.2 函数的极值与导数
答案
知识梳理
1．f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点附近 局部
2．导数为零 不一定
3．(1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 极小值 (3)不是极值
作业设计
1．C
2．C [∵f(x)在x＝1处存在极小值，
∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.]
3．A [∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，
得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由得0在(1，＋∞)内f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有极小值．]
4．A [f(x)的极小值点左边有f′(x)<0，极小值点右边有f′(x)>0，因此由f′(x)的图象知只有1个极小值点．]
5．A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，即，
解得06．D [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a2－12(a＋6)>0时，图象与x轴的左交点两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f′(x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．
∴4a2－12(a＋6)>0得a>6或a<－3.]
7．3
解析 f′(x)＝＝.
∵f′(1)＝0，∴＝0，∴a＝3.
8．1 －3
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0. ①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2. ②
由①②解得a＝1，b＝－3.
9.
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．
由题意得：解得a>.
10．解 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.
11．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6.
因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；
当1当x>2时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，
故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．
解得a<2或a>.
12．(1)解 当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，
故f′(2)＝1，又f(2)＝0，
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.
(2)证明 因为f′(x)＝3(x－a)(x－)，
由于a所以f(x)的两个极值点为x＝a，x＝.
不妨设x1＝a，x2＝，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，
故x3＝b.
又因为－a＝2(b－)，
x4＝(a＋)＝，
此时a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4＝.
高中数学 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案 新人教A版选修1-1
能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数;
教学重点：
会使用导数公式求函数的导数
教学难点：
会使用导数公式求函数的导数
教学过程：
一、讲解新课：
1、基本初等函数的导数公式
2、讲解例题 P83 例1
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x
3、导数运算法则
4、讲解例题
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数的导数.
解:
练习： 求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4）（5）
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）；（2）.
已知函数
（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点处的切线方程.
二、小结 ：
1、基本初等函数的导数公式
2、导数运算法则
教学反思
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是( )
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极小值为－27，无极大值
【解析】 y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝3.
当－2＜x＜－1时，y′＞0；
当－1＜x＜2时，y′＜0.
所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．
【答案】 C
2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
【解析】 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
【答案】 B
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】 ∵f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 D
4．(2018·邢台期末)函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( )
A．a＞1或a≤0 B．a＞1
C．0＜a＜1 D．a＞1或a＜0
【解析】 f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.
【答案】 D
5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
【解析】 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.
【答案】 A
二、填空题
6．(2018·临沂高二检测)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
由y′＝0，得x＝0或4.
且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0.
∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
【答案】 －19
7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．
∴由根与系数的关系知
解得
【答案】 －2 －
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．
图3－3－7
【解析】 由图象可知，
当x<0时，f′(x)<0，
当00，
故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.
【答案】 c
三、解答题
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
【解】 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
2(1－ln 2＋a)
?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
所以f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
10.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图3－3－8所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a，b，c的值．
图3－3－8
【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.
又图象与x轴相切于(0,0)点，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴f′(0)＝0，即0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0.
∴f(x)＝x3＋ax2.
令f(x)＝x3＋ax2＝0，得x＝0或x＝－a，由图象知a<0.
令f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)＝0，
∴当0当x>－a时，f′(x)>0.
∴当x＝－a时，函数有极小值－4.
即3＋a2＝－4，解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝0，c＝0.
[能力提升]
1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
【解析】 不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；
因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；
又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．
【答案】 D
2．如图3－3－9所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图3－3－9
A. B.
C. D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴?
∴f′(x)＝3x2－6x，
令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
【答案】 4
4．若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
【解】 f(x)＝2x3－6x＋k，
则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1,1)上是减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，
即k＜－4或k＞4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
课件34张PPT。3.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数内容：函数极值的概念及其与
导数的关系应用求函数的极值给函数的极值求函数的解析式给函数的极值求函数的单调区间 本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。
在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。
通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限转动最高点问题.摆锤极限转动最高点 跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t 2+6.5t+10其图象如右.单调递增单调递减对于d点,
函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附
近其他点的函数值都小， =0.在点x=d 附近的左侧 <0
在点x=d 附近的右侧 >0我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，
f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.在点 x=e 附近的左侧 >0
在点 x=e 附近的右侧 <0对于e点，
函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附
近其他点的函数值都大， =0 。我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点，
f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点极小值、极大值统称为极值极大值一定大于极小值吗？不一定观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?f?(x) >0f?(x) =0f?(x) <0极大值f?(x) <0f?(x) =0极小值f?(x) >0请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)令 =0得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当 >0即x>2,或x<-2时;(2)当 <0即-2 并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(2)=-4图象如右练习1、求函数f(x)=6+12x-x3的极值. =12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 =0.当 =0时.
①如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间。解：(1) =3ax2+2bx-2因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，
所以 解得 =3ax2+2bx-2即f(x)=ax3+bx2-2x(2) =x2+x-2由 >0,得x<-2或x>1,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2) ∪(1,+∞)由 <0,得-2所以f(x)的单调减区间为(-2,1)探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?若寻找可导函数极值点,可否只由
f?(x)=0求得即可?f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件导数值为0的点一定是函数的极值点吗？例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:(1)设a>0,列表如下:由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a<0,列表如下:由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值
为10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得 或当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意.当a=4,b=-11时,当-11/31时, ,此时x=1是极值点.从而所求的解为a=4,b=-11.一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 =0.当 =0时.
①如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”A注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别必做题:2.函数 在 时有极值10，
则a，b的值为（ ）
A. 或
B. 或
C.
D. 以上都不对 C注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验 3.求下列函数的极值: 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，
又有极小值，则a的取值范围为 .注意：导数与方程、不等式的结合应用选做题:略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用课件46张PPT。3.3.2 函数的极值与导数自主学习 新知突破1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．横看成岭侧成峰，远近高低各不同．
不识庐山真面目，只缘身在此山中．
在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点．
群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部．每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？
[提示] 在山峰左侧f′(x)>0，上升趋势；右侧f′(x)<0，下降趋势．如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧________，右侧____________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．极小值点与极小值f′(x)<0f′(x)>0如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、__________统称为极值点，________和________统称为极值．极大值点与极大值f′(x)>0f′(x)<0极小值点极大值点极大值极小值对函数的极值的理解
(1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．
(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
1．已知函数f(x)在(a，b)上可导，且x0∈(a，b)，以下结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
解析： 由极值点和极值的定义可知，B正确，C，D不正确．导数为零的点不一定是极值点，故A不正确．
答案： B答案： D 答案： e 4．求函数f(x)＝x4－x3的极值．合作探究 课堂互动求函数的极值 求函数极值的方法：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(3)列表，检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的值的符号；
(4)判断单调性，确定极值．
特别提醒：最好列表判断，避免出错．已知极值求参数
[思路点拨] 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法进行，其重点是列表检查导数为零的点的左、右两侧的导数值是不是异号的，若异号，则导数为零的点对应的函数值是极值；否则，导数为零的点对应的函数值不是极值． 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．函数极值的应用 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．3．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．【错因】 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性，故求错．谢谢观看！