3. 3.3函数的最值与导数
课前预习学案
一、预习目标
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。
二、预习内容
1.最大值和最小值概念
2.函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系
3.连续函数在闭区间上求最值的步骤
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程
(一)知识回顾：
极大值、极小值的概念：
2．求函数极值的方法：
（二）探究一：
例1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。
你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？
变式：1 求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（4）则函数的最大值为______，最小值为______。
变式：2 求下列函数的最值：
（1） （2）
探究二：例2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
（三）反思总结
请同学们归纳利用导数求连续函数在闭区间上求最值的步骤
(四)当堂检测
1．下列说法中正确的是（ ）
A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
2．函数，下列结论中正确的是（ ）
A 有极小值0，且0也是最小值 B 有最小值0，但0不是极小值
C 有极小值0，但0不是最小值
D 因为在处不可导，所以0即非最小值也非极值
3．函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）
A B C D
4．函数的最小值是（ ）
A 0 B C D
课后练习与提高
1、给出下面四个命题：
（1）函数的最大值为10，最小值为；
（2）函数的最大值为17，最小值为1；
（3）函数的最大值为16，最小值为－16；
（4）函数无最大值，无最小值。
其中正确的命题有
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2．函数的最大值是__________，最小值是_____________。
3．函数的最小值为____________。
4．已知为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间
[－2，2]上的最小值。
说一说，这节课你学到了什么？
§3.3.3函数的最值与导数
一、教学目标
知识与技能：1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题
教学难点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题
三、教学过程：
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
1.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
（三）合作探究、精讲点拨。
例1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。
（引导学生得出解题思路：求导 →
令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 求极值，求端点值，下结论）
变式：1 求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（4）则函数的最大值为______，最小值为______。
设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。
变式：2 求下列函数的最值：
（1） （2）
（学生上黑板解答）
设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式
探究二：例2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) ，
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
1.函数的最大值和最小值
2.利用导数求函数的最值步骤:
例1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。
例2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在______________的最大值．
2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条______________的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．
3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)内的________；
(2)将f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
2．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )
A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)
3．函数y＝在[0,2]上的最大值是( )
A．当x＝1时，y＝ B．当x＝2时，y＝
C．当x＝0时，y＝0 D．当x＝，y＝
4．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为( )
A. B．1 C．0 D．不存在
5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．0
6．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B. C．－ D．－或－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．
8．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为__________________．
9．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．
三、解答题
10．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
11．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
13．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．
1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．
2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．
3．3.3 函数的最大(小)值与导数
答案
知识梳理
1．f(x)≤f(x0) 定义域上
2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近
3．(1)极值 (2)端点处的函数值f(a)，f(b) 最大 最小
作业设计
1．D [函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
2．D [f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0，得x＝2.
∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6.
∴最大值为f(5)，最小值为f(2)．]
3．A [y′＝＝，令y′＝0得x＝1.
∵x＝0时，y＝0，x＝1时，y＝，x＝2时，y＝，
∴最大值为 (x＝1时取得)．]
4．A [y′＝－.由y′＝0，得x＝.
又0
0，所以ymax＝ ＋ ＝ .]
5．B [∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，
∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.]
6．C [y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1a＝－(舍去)．]
7．－1
解析 f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得01，∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.
8.
解析 ∵x∈，∴f′(x)＝excos x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f.
即≤f(x)≤e.
9．20
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，
得x＝1，(x＝－1舍去)．
∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.
∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.
10．解 (1)f′(x)＝＋cos x.
令f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π，
∴x＝或x＝.
∴f＝＋，f＝－，
又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.
11．解 由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，
知m>f(x)max，
f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝1.
因为f(－)＝，
f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.
所以f(x)的最大值为5，
故m的取值范围为(5，＋∞)．
12．解 (1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，
由x(x＋2)<0，得－2∴(－2,0)为f(x)的减区间．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；
单调减区间为(－2,0)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0,2e2]，
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
13．解 ∵f(x)＝ax3－6ax2＋b，
∴f′(x)＝3ax2－12ax.
令f′(x)＝0，解得x＝0或4.
∵4 [－1,2]，故舍去，
∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，
f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，
f(2)＝－16a＋b.
当a>0时，最大值为b＝3，
最小值为－16a＋b＝－29，解得
当a<0时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29，
解得，
综上所述：或.
高中数学 3.3.3函数的最大（小） 值与导数教案 新人教A版选修1-1
（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学过程：
一．创设情景
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．
二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．
1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求在的最大值与最小值
解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，
因此，函数在的最大值是4，最小值是．
上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．
例2．求函数在区间上的最大值与最小值
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表
X
-2
（-2,-1）
-1
（-1,0）
0
（0,1）
1
（1,2）
2
y/
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4
例3．已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.
解：设g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3．函数y=，在［－1，1］上的最小值为( )
A.0 B.－2 C.－1 D.
4．求函数在区间上的最大值与最小值．
5．课本 练习
五．回顾总结
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是( )
【解析】 在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．
【答案】 D
2．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
【解析】 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
【答案】 B
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值为( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
因为f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以M＝2，m＝－2.
所以M－m＝4.
【答案】 C
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜1 D．0＜a＜
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.
∴x＝±.
又∵f(x)在(0,1)内有最小值，
∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4
C．－1 D．0
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2，
∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
【解析】 f′(x)＝3xln 3＋cos x.
∵x∈[0，π]时，3xln 3＞1，－1≤cos x≤1，
∴f′(x)＞0.
∴f(x)递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
【答案】 1
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a＝________，b＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.
∵a＞1，
∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－1－a
＋b
?
极大
值b
?
1－a
＋b
由题意得b＝1.
f(－1)＝－，f(1)＝2－，
f(－1)＜f(1)，
∴－＝－1，∴a＝.
【答案】 1
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________.
【解析】 ∵x∈(0,1]，
∴f(x)≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当 00；
当∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，
它也是最大值，故a≥4.
【答案】 [4，＋∞)
三、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
(2)y＝5－36x＋3x2＋4x3，x∈(－2,2)．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f′(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，即12x2＋6x－36＝0，解得x1＝，x2＝－2(舍去)．
当x∈时，f′(x)＜0，函数单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，函数单调递增．
∴函数f(x)在x＝时取得极小值f＝－28，无极大值，即在(－2,2)上函数f(x)的最小值为－28，无最大值．
10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0【解】 由f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a>0，得a>－.所以，当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为
f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
[能力提升]
1．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】 令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)在[a，b]上的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
【答案】 A
2．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )
A.(1＋ln 3) B.ln 3
C．1＋ln 3 D．ln 3－1
【解析】 由题意知，|MN|＝|x3－ln x|.设h(x)＝x3－ln x，h′(x)＝3x2－，令h′(x)＝0，得x＝，易知，当x＝时，h(x)取得最小值，h(x)min＝－ln＝>0，故|MN|min＝＝(1＋ln 3)．
【答案】 A
3．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2ln x.
设g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝e或x＝0(舍去)，
因为当00；当x>e时，g′(x)<0.
所以当x＝e时，g(x)取得最大值g(e)＝e，故a≥e.
【答案】 a≥e
4．设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值．
【解】 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
由题意可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1，
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
综上，a＝，b＝1.
课件35张PPT。3.3.3 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数内容：利用导数研究函数的最大（小）值应用:1.求函数的最大值和最小值2.已知函数的最值求函数的解析式3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取值范围. 本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决的三类问题给出4个例题和变式，通过解决问题巩固新知，强调利用导数研究函数最值问题的重要性。
在讲述利用导数研究函数最值时，采用例题与变式结合的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在闭区间的最值的方法。例3及变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力；而例4是与函数最值有关的恒成立问题，说明思路的由来过程，开阔了学生的思路．通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最高、最低点问题.世界上最长的荡秋千线最高、最低点f '(x)>0f '(x)<0问题1：函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数问题2：函数的极大（小）值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称 为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点
（1）确定函数的定义域
（2）求函数的导数f’(x)
（3）求方程f’(x)=0的根,找到临界点
（4）解不等式并列成表格
（5）求出极值
问题3:求函数的极值的方法与步骤左正右负极大值，左负右正极小值问题4: 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值.在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.问题1：这个函数f(x)在区间[a,b]上有极值吗？
问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点．
问题3：f(x)在[a,b]上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？
问题4：你是如何得出最大（小）值的？观察下面一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象．观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 例如:已知函数 ，求f(x)在
区间[0,3]上的最大值和最小值．例如:已知函数 ，求f(x)在
区间[0,3]上的最大值和最小值．问题1：你能否自己画出这个函数的图象，再通过画出的图象确定函数的最值呢？
问题2：你的作图是否准确无误呢？如果作图出现较大的误差，会不会影响到你的判断？
问题3：假设你的作图准确度很高，你觉得每次都这么去作图是否很方便？
问题4：有没有更好的办法，使我们不用作图就能准确的求出任意一个函数的最值呢？
问题1：你是如何理解“连续不断的曲线”的？
问题2：给定函数的区间[a,b]能否改为(a,b)？通过以上的思考，你能否给出某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件呢？观察下列图形,你能找出函数的最值吗？在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值问题3：你能说出函数的极值与最值有什么区别与联系吗？
(1)“最值”是整体概念，而“极值”是个局部概念．
(2)从个数上看，一个函数在给定定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一，也可能没有．
(3)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．一般的如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了. 例1.已知函数 ,求f(x)在区间[0,3]上的
最大值和最小值． (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；1.求出所有导数为0的点；2.计算；3.比较确定最值。 求函数的最大值和最小值求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,
(1)求a的值；
（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值．已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，
使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存
在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由． 例4．设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t>0)
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）若h(t)<-2t+m对(0本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？
学生作答：
1．知识：
（1）极值与最值的区别与联系：
（2）利用导数求函数的最值的步骤：
2．思想：归纳概括思想、数形结合思想．
教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．DAA必做题:4.函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（ )
(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C1.函数 y = x3 + 3 x2－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 ,
最小值为 .分析: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x－9=0,(2) 区间[－4 , 4 ]端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－576-5当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为
f (4) =76，最小值为 f (1)=－5选做题:反思：本题属于逆向探究题型
其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 3. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值. 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3，
最大值为11，最小值为2 解法二:f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0，即2x-4=0，得x=2-+3112解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理课件46张PPT。3.3.3 函数的最大(小)值与导数自主学习 新知突破1．能够区分极值与最值两个不同的概念．
2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．假设函数y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图象，你认为此类函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？最大值及最小值与极值有什么关系？如何求函数的最值？
[问题1] 这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？
[提示1] 能．
[问题2] 若y＝h(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？
[提示2] 不能．
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有_______和________，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．函数的最大值与最小值最大值最小值
求函数f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：
1．当函数f(x)单调时：若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的_______，f(b)为函数的_________．函数最值的求法最小值最大值最大值最小值
2．当函数f(x)不单调时：
(1)求y＝f(x)在(a，b)内的___值；
(2)将y＝f(x)的各____值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．极极
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．1．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个解析： 答案： A
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析： f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3，－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案： B3．f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．答案： 1 合作探究 课堂互动求函数的最值 求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值． 方法一：f′(x)＝－4x3＋4x，
即f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，
得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： 求解函数在闭区间上的最值．
在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数值；
(3)比较极值与区间端点函数值的大小．1．求函数f(x)＝x3－3x－1在区间[0,3]上的最大值、最小值．
解析： f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝－1，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表已知函数的最值求参数 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．
[思路点拨] 根据导数与单调性，导数与最值之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．
上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2. 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值并求f(x)在[－2,2]上的最大值．不等式恒成立问题 已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．[思路点拨] 由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．
【错因】 没有求区间端点处的函数值；连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值．求出极值，需要与区间端点处的函数值进行比较才能断定．谢谢观看！