第三章第4节 生活中的优化问题举例
课前预习学案
一、预习目标
了解解决优化问题的思路和步骤
二、预习内容
1．概念：
优化问题：_______________________________________________________
2.回顾相关知识：
（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值？
4.解决优化问题的基本思路是什么？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.
重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。
二、学习过程
汽油使用效率最高的问题
阅读例1，回答以下问题：
是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？
“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？
如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？
磁盘最大存储量问题
阅读背景知识，思考下面的问题：
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。
（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？
（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
阅读背景知识，思考下面的问题：
（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。
（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。
（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？
三、反思总结
通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
四、当堂检测
已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量是400头。每养1头猪，成本增加100元，如果收入函数是R(q)= (q是猪的数量)，每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可用计算器）
课后练习与提高
1.打印纸型号设计原理
某种打印纸的面积为623.7cm2，要求上下页边距分别为2.54cm，左右页边距分别为3.17cm，如果要求纵向打印，长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到0.01cm)？收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。
?【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）
型号
A5
A4
A3
Legal
16开
32开
大32开
B4
B5
宽
14.8
21
29.7
21.59
18.4
13
14
25.7
18.2
高
21
29.7
42
35.56
26
18.4
20.3
36.4
25.7
2.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能时所用材料最省？
圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
?
§3.4 生活中的优化问题举例
教学目标：
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.
重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。
教学方法：尝试性教学
教学过程：
前置测评：
（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题
例1.汽油的使用效率何时最高
材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？
通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？
解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v
表示经过原点与曲线上点（v,g）的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f’(90),约为0.67L.
例2.磁盘的最大存储量问题
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
是不是越小，磁盘的存储量越大？
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，计算．
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例3. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.
（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；
（2）求，解方程，得出所有实数根；
（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，
根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。
作业：P114习题3.4第2、4题
§3.4 生活中的优化问题举例
课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．
2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．
3．解决优化问题的基本思路是：
→
↓
←
上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．
一、选择题
1．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2 (0A．30 B．40 C．50 D．其他
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A． B． C． D．2
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A． cm B． cm
C． cm D． cm
6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝，则总利润最大时，年产量是( )
A．100 B．150 C．200 D．300
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
三、解答题
10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
能力提升
12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
13．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大．
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)写出答案．
§3.4 生活中的优化问题举例
答案
知识梳理
1．优化问题 导数 导数 优化问题
作业设计
1．B [V′(x)＝60x－x2＝0，x＝0或x＝40.
x
(0,40)
40
(40,60)
V′(x)
＋
0
－
V(x)
?
极大值
?
可见当x＝40时，V(x)达到最大值．]
2．C [y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当00；当x>9时，y′<0，故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．]
3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，
如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋ (x>0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．]
4．C [设底面边长为a，直三棱柱高为h.
体积V＝a2h，所以h＝，
表面积S＝2·a2＋3a·＝a2＋，
S′＝a－，由S′＝0，得a＝.
经验证，当a＝时，表面积最小．]
5．D [设高为x cm，则底面半径为 cm，
体积V＝x·(202－x2) (0V′＝(400－3x2)，由V′＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x∈时，V′>0，当x∈时，V′<0，所以当x＝时，V取最大值．]
6．D [由题意，总成本为c＝20 000＋100x，
所以总利润为p＝r－c
＝，
p′＝，
p′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；
当x>400时，p′<0恒成立，
易知当x＝300时，总利润最大．]
7．5
解析 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，
令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
8．1∶1
解析 设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，所以窗户周长
L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，
x∈时，L′>0，
所以当x＝ 时，L取最小值，
此时＝＝－＝－＝1.
9．3
解析 设半径为r，则高h＝＝.
∴水桶的全面积S(r)＝πr2＋2πr·＝πr2＋.
S′(r)＝2πr－，令S′(r)＝0，得r＝3.
∴当r＝3时，S(r)最小．
10．解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1 (0所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256 (0(2)由 (1)知，f′(x)＝－＋mx－
＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
11．解 (1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
?
极大值
?
故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当0因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
13．解 收入R＝q·p＝q＝25q－q2.
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100 (0L′＝－q＋21，
令L′＝0，即－q＋21＝0，解得q＝84.
因为当00；
当84所以当q＝84时，L取得最大值．
所以产量q为84时，利润L最大．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
【解析】 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．
【答案】 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
【解析】 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.
由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.
【答案】 D
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．
设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
此时长为＝32(米)，可使L最小．
【答案】 A
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【解析】 毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
【答案】 D
5．三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为( )
A．4 B．8
C. D.
【解析】 V＝×·y＝＝＝(0＜x＜3)，
V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
【答案】 C
二、填空题
6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
【解析】 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．
【答案】 3
7．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米.
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】 800
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】 设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；
当x＞5时，y′＞0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
【答案】 5
三、解答题
9．(2018·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
【解】 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)，
则L(x)＝500x－2 500－C(x)
＝500x－2 500－
＝300x－x3－2 500(x∈N)，
令L′(x)＝300－x2＝0，
得x＝60(件)，
又当0≤x≤60时，L′(x)>0，
x>60时，L′(x)<0，
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)max＝9 500元．
10．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
【解】 设容器底面较短的边长为x m，则容器底面较长的边长为(x＋0.5)m，高为＝3.2－2x(m)，
由3.2－2x>0和x>0，得0设容器容积为y m3，
则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)，
当00；
当1所以在x＝1处y有最大值，此时容器的高为1.2 m，最大容积为1.8 m3.
[能力提升]
1．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )
A．30千米/时 B．25千米/时
C．20千米/时 D．10千米/时
【解析】 设航速为v(0≤v≤30)，燃料费为m，
则m＝kv3，
∵v＝10时，m＝25，代入上式得k＝，
则总费用y＝·m＋×400＝20v2＋，
∴y′＝40v－.
令y′＝0，得v＝20.
经判断知v＝20时，y最小，故选C.
【答案】 C
2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
【解析】 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，
而r＞0，∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
【答案】 A
3．如图3－4－4，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
图3－4－4
【解析】 设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的；
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
4．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0【解】 由题意，得本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)万元，本年度每辆车出厂价为13(1＋0.7 x)万元，本年度的年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]y
＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以，当x＝时，f(x)取得极大值，f＝20 000.
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
故当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
课件27张PPT。3.4 生活中的优化问题举例（1）生活中的优化问题举例
内容：生活中的优化问题应用:1.海报版面尺寸的设计2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题 3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引入新课。本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题----分析问题----解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式，通过解决这些问题，培养学生数学建模的能力。
采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报的尺寸，使空白面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利润最大问题．通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力.问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？ 问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？运用什么知识解决优化问题 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的
曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，
则这个极值一定是最值。例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，
当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。解法二：由解法(一)得练习1.一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，
要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为由问题的实际意义可知：例2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解 :设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为 又 ( 定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们
的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例3： 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ -+减函数↘增函数↗-1.07p解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．1.半径为２cm 时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值。２.半径为６cm时，利润最大。由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，
找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数
学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的
判断，确定其答案。注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。习题1.4
A组 2, 5, 6必做题:
1.已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为, 价格p与产量q的函数关系式为 ,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？选做题:分析:
法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决. 法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决课件25张PPT。3.4 生活中的优化问题举例（2）生活中的优化问题举例
内容：生活中的优化问题应用:1.磁盘的最大储存量问题2.成本最省问题 本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新课。通过合作交流，使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成本最省问题，感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变式，通过解决这些问题，使学生熟悉利用导数解决生活中最优化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。
本课采用例题与变式结合的方法巩固新知，例1是磁盘的最大储存量问题；例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，尝试数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体会导数的工具性．通过对生活中优化问题的探究过程，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣．问题1：上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润,问通常采取什么方法解决这一类问题呢？
问题2：这些问题的共同点是什么？
问题3：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与哪部分数学知识有关？
问题4：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工具？
问题5：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？磁盘的最大存储量问题问题：
（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？
（2）你知道磁盘的结构吗？
（3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？
下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题．成本最省问题变式训练2：一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为480元/小时，在20km航程中，船速多少时船行驶总费用最省？此时每小时费用等于多少？1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？3．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大 课件46张PPT。3.4 生活中的优化问题举例自主学习 新知突破
1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤．
2．会利用导数解决某些实际问题．2012春，我国云南遭遇特大旱灾，为确保农业生产用水，某市及时下拨资金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体，其上、下底的单位面积造价是侧面单位面积造价的a倍．当其容积为常量时，应如何设计水塔的尺寸能使总造价最低？最优化问题解决优化问题的基本思路解决优化问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )
A．9千台 B．8千台
C．6千台 D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
答案： C2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，则分法为( )
A．2与6 B．4与4
C．3与5 D．以上均错
解析： 设一段长为x，则另一段为8－x，其中0设y＝x3＋(8－x)3，则y′＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)．
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________．4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？合作探究 课堂互动面积、容积的最值问题 在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径r为多大时：
(1)圆柱体的体积最大？
(2)圆柱体的表面积最大？
[思路点拨] 由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值． 设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示． (1)解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1．横截面为矩形的横梁的强度同它的横截面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，横截面的宽与高应是多少？最大利润问题 (1)写出2013年第x个月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场2013年销售该商品的月利润最大是多少元？ 利润最大问题是我们生活中最常遇到的问题，根据利润(收益)＝销售额－成本，列出函数关系式，再利用导数求函数的最大值．成本最低(费用最省)问题 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)． (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：
(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？谢谢观看！
