模块综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是( )
A．?x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
B．?x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．?x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
D．?x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆
C．双曲线的一支 D．线段
6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
7．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的最大值是( )
A．1 B．3 C．9 D．不存在
8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8 C．6 D．4
9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
10．若当x＝2时，函数f(x)＝ax3－bx＋4有极值－，则函数的解析式为( )
A．f(x)＝3x3－4x＋4 B．f(x)＝x2＋4
C．f(x)＝3x3＋4x＋4 D．f(x)＝x3－4x＋4
11．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±y＝0 D.x±y＝0
12．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．?a∈R，f(x)是偶函数
D．?a∈R，f(x)是奇函数
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范
围是 ________________________________________________________________．
14．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为
________________________________________________________________________．
15．若AB是过椭圆＋＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a (a为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．
18．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
19.（12分）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．
21.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．
模块综合检测(A) 答案
1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B [命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．]
3．D [双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]
4．C [由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a(x－)2－，此时函数对应的图象开口向上，当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，ymin＝ax－bx0
＝－，那么对于任意的x∈R，
都有y＝ax2－bx≥－＝ax－bx0.]
5．A [∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]
6．D [∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0
∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)．
容易求得－1≤y′<0，
∴－1≤tan α<0，得π≤α<π.]
7．B [因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f′(x)≥0，x∈[1，＋∞)，即3x2－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2.
因为x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，从而a≤3.]
8．B [由抛物线的定义，
得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，设b＝k，
则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.]
10．D [因为f(x)＝ax3－bx＋4，
所以f′(x)＝3ax2－b.
由题意得，
解得，
故所求函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.]
11．D [如图所示，∵O是F1F2的中点，＋＝2，
∴（＋)2＝(2)2.
即 ||2＋||2＋2||·||·cos 60°＝4||2.
又∵|PO|＝a，
∴ ||2＋||2＋||||＝28a2. ①
又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.
即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2. ②
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]
12．C [f′(x)＝2x－，故只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上才是增函数，因此A、B不对，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，因此C对，D不对．]
13．[3,8)
解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
14.－＝1
解析 由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
15．－
解析 设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
16．57
解析 f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝－2.
又∵f(0)＝a，f(－3)＝a，
f(－2)＝a＋4，f(3)＝54＋a，
∴f(x)的最小值为a，最大值为54＋a.
由题可知a＝3，∴f(x)的最大值为57.
17．解 由，得，
即2设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2∵綈p?綈q，∴q?p，∴B?A.
即2设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
18．解 如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则S△F1PF2＝mnsin
＝mn.
由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝20，
即m＋n＝20. ①
又由余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝|F1F2|2，
即m2＋n2－mn＝122. ②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
19．解 设 P＝(x，y)，则 ＝(4,0)，＝(x＋2，y)，
＝(x－2，y)．
∴ ||＝4，||＝，
·＝4(x－2)，
代入 ||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，
化简整理，得y2＝－8x.
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
20．解 (1)f′(x)＝2ax－a，
由已知得，
解得，
∴f(x)＝x2－2x＋.
(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为
y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
21．解 (1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
22．解 (1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，
x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
因此f′(2)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln 2＋2，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.
(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，
所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．
令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．
①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，
此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
②当a≠0时，由f′(x)＝0，
即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.
a．当a＝时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
b．当01，
x∈(0,1)时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
x∈时，g(x)<0，
此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
x∈时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
c．当a<0时，由于－1<0.
x∈(0,1)时，g(x)>0，
此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，
此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1．已知命题“p：x≥4或x≤0”，命题“q：x∈Z”，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为( )
A．{x|x≥3或x≤－1，x?Z}
B．{x|－1≤x≤3，x?Z}
C．{－1,0,1,2,3}
D．{1,2,3}
2．“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知2x＋y＝0是双曲线x2－λy2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D．2
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
6．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
7．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
8．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]，(0,1) D．[－1,0)，(0,1]
9．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3 B．2
C. D.
10．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B. C．－ D．－2
11．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
12．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极小值－6时，x的值应为( )
A．0 B．－1 C．±1 D．1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知双曲线x2－＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．
14．点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．
15．给出如下三种说法：
①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc.
②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题．
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．
其中正确说法的序号为________．
16．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．
18．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．
19.(12分)若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知?x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
22．(12分)已知f(x)＝x3－2ax2－3x (a∈R)，
(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；
(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．
模块综合检测(B) 答案
1．D
2．A [因为|a|>0?a>0或a<0，所以a>0?|a|>0，但|a|>0 a>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．]
3．C
4．A [由题意知c＝4，焦点在x轴上，
又e＝＝2，∴a＝2，
∴b2＝c2－a2＝42－22＝12，
∴双曲线方程为－＝1.]
5．C [设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知
|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|
＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.]
6．D [与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.]
7．B [y′＝3x2－6x，∴k＝y′|x＝1＝－3，
∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，
∴y＝－3x＋2.]
8．A [由题意知x>0，
若f′(x)＝2x－＝≤0，则0即函数f(x)的递减区间是(0,1]．]
9．C [令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得：
(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kl＝－，∴l的方程：x＋2y－3＝0，
由，得6y2－12y＋5＝0.
∴y1＋y2＝2，y1y2＝.
∴|AB|＝＝.]
10．D [y＝，
∴y′|x＝3＝－|x＝3＝－.
又∵－a×＝－1，∴a＝－2.]
11．A [依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足．]
12．C [f(x)＝x4－2x2＋c.
因为过点(0，－5)，所以c＝－5.
由f′(x)＝4x(x2－1)，得f(x)有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f(1)＝f(－1)＝－6.]
13.
解析 焦点(±2,0)，渐近线：y＝±x，
焦点到渐近线的距离为＝.
14.
解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x0 (x0>0)，则经过该点的切线的斜率为k＝2x0－，根据题意得，2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－，又∵x0>0，∴x0＝1，此时y0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为＝.
15．①②
解析 对①，a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之不一定，故①正确；对②，令x＝5，y＝6，则x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p∧q假时，p，q至少有一个为假命题，故③错误．
16．(1,3]
解析 设|PF2|＝m，
则2a＝||PF1|－|PF2||＝m，
2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.
∴e＝＝≤3，又e>1，
∴离心率的取值范围为(1,3]．
17．解 命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根??m>2.
命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根
?Δ′＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0
?1∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p为真、q为假或p为假、q为真，
则或，
解得m≥3或118．解
设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，F1，F2是它的两个焦点，Q为椭圆上任意一点，QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，连结PO，
过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H，则P是F2H的中点，且|F2Q|＝|QH|，
因此|PO|＝|F1H|＝(|F1Q|＋|QH|)
＝(|F1Q|＋|F2Q|)＝a，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．
19．解 由于sin x＋cos x＝sin∈[－，]，
?x∈R，r(x)为假命题即sin x＋cos x>m恒不成立．
∴m≥. ①
又对?x∈R，s(x)为真命题．
∴x2＋mx＋1>0对x∈R恒成立．
则Δ＝m2－4<0，即－2故?x∈R，r(x)为假命题，且s(x)为真命题，
应有≤m<2.
20．解 (1)由题意知b＝1，e＝＝，
又∵a2＝b2＋c2，∴a2＝2.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由，得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
∴直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
21．解 (1)由f(x)的图象经过P(0,2)知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，
f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，
即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3，令3x2－6x－3＝0，
即x2－2x－1＝0.
解得x1＝1－，x2＝1＋.
当x<1－或x>1＋时，f′(x)>0.
当1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，1－)和(1＋，＋∞)内是增函数，在(1－，1＋)内是减函数．
22．解 (1)∵f(x)＝x3－2ax2－3x，
∴f′(x)＝2x2－4ax－3，
∵f(x)在区间(－1,1)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立；
∴ 得－≤a≤.
故a的取值范围是.
(2)当a>时，∵，
∴存在x0∈(－1,1)，使f′(x0)＝0，
∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，
∴在(－1，x0)内，f′(x)>0，在(x0,1)内，f′(x)<0，
即f(x)在(－1，x0)内单调递增，在(x0,1)内单调递减，
∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．
当a<－时，∵，
∴存在x0∈(－1,1)使f′(x0)＝0.
∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，
∴在(－1，x0)内f′(x)<0，
在(x0,1)内f′(x)>0.
即f(x)在(－1，x0)内单调递减，在(x0,1)内单调递增，
∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．
当－≤a≤时，由(1)知f(x)在(－1,1)内递减，没有极值点．
综上，当a>或a<－时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－≤a≤时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为0.
模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1．方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分 D．直线的一部分
2．若抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．x2＝28y
C．y2＝－28x D．y2＝28x
3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B. C. D.
4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
5．已知a、b为不等于0的实数，则>1是a>b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4，m)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆一共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
7．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为2，则此双曲线方程是( )
A.－＝1 B．－＋＝1
C.－＝1 D．－＋＝1
9．下列四个结论中正确的个数为( )
①命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1”；
②已知p：?x∈R，sin x≤1，q：若a③命题“?x∈R，x2－x>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c) (a≠0)在x＝1和x＝－1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是( )
A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c)
11．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D.
12．已知命题P：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R；命题Q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<2 C．1题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．
14．一动圆圆心在抛物线x2＝8y上，且动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必过定点________．
15．已知F1、F2是椭圆C ＋＝1 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
16．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是
________________________________________________________________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p：x2－12x＋20<0，q：x2－2x＋1－a2>0 (a>0)．若綈q是綈p的充分条
件，求a的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)＝0的一个根为2.
(1)求c的值；
(2)求证：f(1)≥2.
19.(12分) 如图，M是抛物线y2＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值．
20．(12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
21.(12分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．
22.（12分）如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2=－2py（p>0）
交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
模块综合检测(C) 答案
1．B [x＝，∴x2＋4y2＝1 (x≥0)．
即x2＋＝1 (x≥0)．]
2．D
3．C [由已知，＝1，∴a＝b，
∴c2＝2a2，∴e＝＝＝.]
4．C
5．D [如取a＝－3，b＝－2，满足>1，但不满足a>b.反过来取a＝1，b＝－5，满足a>b，但不满足>1，故答案为D.]
6．D [因为点M(4，m)在抛物线y2＝4x上，所以可求得m＝±4.由于圆经过焦点F且和准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知对于点M(4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个满足条件的圆．]
7．C
8．B [由已知得椭圆中a＝5，b＝3，
∴c＝4，且它的焦点在y轴上，
故双曲线的焦点也应在y轴上且为(0,4)和(0，－4)，
又椭圆的离心率为e＝＝，
所以双曲线的离心率为2，即＝2，
又c＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为
b2＝c2－a2＝16－4＝12，
则双曲线方程为－＝1.]
9．B [只有③中结论正确．]
10．A
11．A [令y′＝＝＝0，x＝e，当x>e时，y′<0；当x0，y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.]
12．C [先化简P与Q，建构关于a的关系式；由函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R知：内层函数u(x)＝x2＋2x＋a恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数?Δ＝4－4a≥0?a≤1，即P?a≤1；同样由y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1，即Q?a<2；由P或Q为真，P且Q为假知，P与Q中必有一真一假．故答案为C.]
13.
解析 f′(x)＝3x2＋2x＋m，依题意可知f(x)在R上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
14．(0,2)
解析 动圆一定过抛物线x2＝8y的焦点．
15．3
解析 由已知，得，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋36＝4a2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴4a2－4c2＝36，∴b＝3.
16．(－∞，－3)∪(0,3)
解析 设F(x)＝f(x)g(x)，
由已知得，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
当x<0时，F′(x)>0，
∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．
又∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，
∴F(x)为奇函数．
∴F(x)在(0，＋∞)上也为增函数．
又g(－3)＝0，∴F(－3)＝0，F(3)＝0.
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
17．解 p：{x|2q：{x|x<1－a，或x>1＋a}．
由綈q?綈p，得p?q，
于是1＋a<2，∴018．(1)解 ∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f′(0)＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(0)＝c＝0.
∴c＝0.
(2)证明 ∵f(2)＝0，∴8＋4b＋2c＋d＝0，
而c＝0，∴d＝－4(b＋2)．
∵方程f′(x)＝3x2＋2bx＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝－b，且f(x)在[0,2]上是减函数，
∴x2＝－b≥2，∴b≤－3.
∴f(1)＝b＋d＋1＝b－4(b＋2)＋1
＝－7－3b≥－7＋9＝2.
故f(1)≥2.
19．证明 设M(y，y0)，直线ME的斜率为k (k>0)，则直线MF的斜率为－k，
直线ME的方程为y－y0＝k(x－y)．
由
得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.
于是y0·yE＝.
所以yE＝.同理可得yF＝.
∴kEF＝＝
＝＝－(定值)．
20．解 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16<0，∴－2函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a>1，即a<1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
①若p真q假，则
∴1≤a<2.
②若p假q真，则
∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤－2}．
21．解 由f(x)>1，得ax－ln x－1>0.
即a>在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－，
∵x>1，∴g′(x)<0.
∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减．
∴g(x)即<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.
22．解 (1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，
所以 解得
所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，
y′＝－x，
所以－x0＝2?x0＝－2，y0＝－x＝－2，
所以P(－2，－2)．
此时点P到直线l的距离
d＝＝＝，
由得x2＋4x－4＝0，
|AB|＝·
＝·＝4.
∴△ABP面积的最大值为＝8.
第三章 章末总结
知识点一 导数与曲线的切线
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①
又y1＝f(x1) ②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
例1 已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
知识点二 导数与函数的单调性
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝＋sin x；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
知识点三 导数与函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；
特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例3 设知识点四 导数与参数的范围
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．
例4 已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
例5 已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)章末总结 答案
重点解读
例1 解 设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
例2 解 (1)函数的定义域是R，
f′(x)＝＋cos x，令＋cos x>0，
解得2kπ－令＋cos x<0，
解得2kπ＋因此，f(x)的单调增区间是 (k∈Z)，单调减区间是
(k∈Z)．
(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.
①当a>0时，x1∴函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，
单调递减区间为.
②当a<0时，x1>x2，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，
单调递减区间为.
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是增加的．
例3 解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，
得x1＝0，x2＝a.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
－＋b
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b.所以b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
例4 解 f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0 (x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16.
例5 解 ∵f(x)＝x3－x2－2x＋5，
∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，
∴x＝1或x＝－.
当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
所以，当x＝－时，f(x)取得极大值f＝；
当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝.
又f(－1)＝，f(2)＝7，
因此，f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7.
要使f(x)7.
所以，所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．
第三章 章末检测 (A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－1)及(0,1)
B．(－1,0)及(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为( )
A．a> B．a≥
C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0
5．函数y＝x2－4x＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是( )
A．f(5)，f(0) B．f(2)，f(0)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(2)
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 010x1＋
log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为( )
A．－log2 0102 009 B．－1
C．(log2 0102 009)－1 D．1
7．方程－x3＋x2＋x－2＝0的根的分布情况是( )
A．一个根，在（－∞，－）内
B．两个根，分别在（－∞，－）、(0，＋∞)内
C．三个根，分别在（－∞，－）、（－，0）、(1，＋∞)内
D．三个根，分别在（－∞，－）、(0,1)、(1，＋∞)内
8．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
9．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )
A.π B.π C.π D.π
10. 已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
11．函数f(x)＝ln x－x2的极值情况为( )
A．无极值 B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值 D．不确定
12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
14．f′(x)是f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是________．
15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为
________________________________________________________________________．
16．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)当x∈（0，）时，证明：tan x>x.
18．(12分)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)
19.(12分)已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．
20．(12分)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？
21.(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
第三章 导数及其应用(A) 答案
1．B [∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.
f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.
∴M(－1，－3)．]
2．A [y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]
3．D [f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.]
4．C [f′(x)＝3ax2－2x＋1，
函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，
等价于f′(x)＝0有两个不等实根，
即
解得a<且a≠0.]
5．D [y′＝2(x－2)．x＝2时，y′＝0；x<2时，y′<0；x>2时，y′>0.∴x＝2是极小值点，f(2)＝－3；又f(0)＝1，f(5)＝6，故f(5)是最大值，f(2)是最小值．]
6．B [∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009
＝log2 010(x1·x2·…·x2009)
＝log2 010(··…·)＝log2 010
＝－1.]
7．A [令f(x)＝－x3＋x2＋x－2，则f′(x)＝－3x2＋2x＋1，令－3x2＋2x＋1＝0，
得x＝1，或x＝－，故函数f(x)在x＝1和x＝－处分别取得极大值f(1)＝－1和极小值f＝－，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在内．]
8．A
9．A [设圆柱横截面圆的半径为R，圆柱的高为h，则2R＋h＝2.
∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，
∴V′＝2πR(2－3R)＝0.
令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝.
经检验知，R＝时，圆柱体积最大，此时h＝，
Vmax＝π·×＝π.]
10．A [∵(－∞，－2)时，f′(x)<0，
∴f(x)为减函数；
同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]
11．C [因为f(x)＝ln x－x2，所以f′(x)＝－2x，
令f′(x)＝0得x＝ (x＝－舍去)．
当00，函数单调递增；当x>时，f′(x)<0，函数单调递减．所以函数f(x)＝ln x－x2在x＝处取得极大值，无极小值．]
12．B [y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]
13．a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a≥3x2，
x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
14．3
解析 ∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.
15．(－2,15)
解析 设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知：
y′|x＝x0＝3x－10＝2，∴x＝4.
又∵P点在第二象限内，∴x0＝－2，∴y0＝15.
∴P点的坐标为(－2,15)．
16．21
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴?.
∴a－b＝－3＋24＝21.
17．证明 构造函数f(x)＝tan x－x，判断f(x)在上的单调性．
设f(x)＝tan x－x，x∈.
∴f′(x)＝′－1＝－1
＝－1＝＝tan2x>0.
∴f(x)在上为增函数．
又∵f(x)＝tan x－x在x＝0处可导且f(0)＝0，
∴当x∈时，f(x)>f(0)恒成立，
即tan x－x>0.∴tan x>x.
18．解 因为＝，且AM＝30，AN＝20.
所以ND＝·AN＝，
得AD＝AN－ND＝20－.
仓库的库容V(x)＝(20－)·x·x
＝－＋20x2(0令V′(x)＝－2x2＋40x＝－2x(x－20)＝0，
得x＝20或x＝0(舍去)．
当x∈(0,20)时，V′(x)>0；
当x∈(20,30)时，V′(x)<0.
所以当x＝20时，V(x)有极大值也是最大值．
即AB的长度为20米时仓库的库容最大．
19．解 (1)因为f′(x)＝2x＋1，所以f′(1)＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，
即y＝3x－3.
设直线l2过曲线上点B(b，b2＋b－2)，
因为f′(b)＝2b＋1，
所以直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
又l1⊥l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－，
所以直线l2的方程为y＝－x－.
即3x＋9y＋22＝0.
(2)解方程组，可得.
因为直线l1、l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)、，
所以所求三角形的面积为
S＝××＝.
20．解 由V＝πr2h，得h＝.
设盖的单位面积造价为a，
则储油罐的造价M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2
＝5aπr2＋，
M′＝10aπr－，令M′＝0，解得r＝，
∴经验证，当r＝时，函数取得极小值，也是最小值，此时，
h＝＝.
∴当＝＝时，储油罐的造价最省．
21．解 f′(x)＝3ax2－b.
(1)由题意得，
解得，
故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，
＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
－
?
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如右图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－22．解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，
即y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若0x
(－，0)
0
(0，)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
当x∈[－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得－5②若a>2，则0<<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－，
0)
0
(0，)
(，)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
当x∈[－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得因此2综合①②，可知a的取值范围为0第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1. 已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
2．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是( )
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( )
A．y＝－4x－1 B．y＝4x－1
C．y＝4x－11 D．y＝－4x＋7
4．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B. ∪
C. D.
5．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
6．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
7．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若函数f(x)＝asin x＋cos x在x＝处有最值，那么a等于( )
A. B．－ C. D．－
9．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
10. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．函数f(x)＝的单调增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)，(1，＋∞)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )
A．0.012 B．0.024
C．0.032 D．0.036
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________________________________________________________________________.
14．设函数f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于x∈[－1，1]，都有f(x)≥0，则实数a的值为________________________________________________________________________．
15. 如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为π，有以下命题：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．
②f(x)的极值点有且只有一个．
③f(x)的最大值与最小值之和等于零．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？
20．(12分)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.
(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
第三章 导数及其应用(B) 答案
1．B [f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)2．B [物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．
s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.]
3．B [∵曲线过点(，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1，
∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，
∴该点处切线斜率为k＝4，
∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.]
4．B
5．B [f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.]
6．A [∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]
7．C
8．A [f′(x)＝acos x－sin x，由题意f′＝0，
即a·－×＝0，∴a＝.]
9．C [y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在上为增函数．∴当x＝π时，
ymax＝π.]
10．A [由图象看，在图象与x轴的交点处左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0的点才满足题意，这样的点只有一个B点．]
11．C [∵f′(x)＝
＝＝>0，又x≠1，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]
12．B [由题意知，存款量g(x)＝kx (k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，
x∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]
13．3
解析 由切点(1，f(1))在切线y＝x＋2上，
得f(1)＝×1＋2＝.又∵f′(1)＝，
∴f′(1)＋f(1)＝＋＝3.
14．4
解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0，显然成立；
当x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≥－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；
当x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0
可转化为a≤－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间[－1,0)上单调递增．
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，
综上所述，a＝4.
15.
解析 设CD＝x，则点C坐标为.
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x (x∈(0,2))．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
16．①③
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意得f(0)＝0，
f′(－1)＝f′(1)＝tan ＝－1.
∴，∴a＝0，b＝－4，c＝0.
∴f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．故①正确．
由f′(x)＝3x2－4＝0得x1＝－，x2＝.
根据x1，x2分析f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.
x
－2
(－2，－）
－
(－，)
(，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
?
－
?
0
∴x＝－是极大值点也是最大值点．
x＝是极小值点也是最小值点．
f(x)min＋f(x)max＝0.∴②错，③正确．
17．解 f′(x)＝x2－ax＋a－1，
由题意知f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，
且f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0，
即x2－1≤a(x－1)．
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，
∴a≥＝x＋1.
又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5， ①
由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0，
即x2－1≥a(x－1)．
∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>0，
∴a≤＝x＋1.
又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7， ②
∵①②同时成立，∴5≤a≤7.
经检验a＝5或a＝7都符合题意，
∴所求a的取值范围为5≤a≤7.
18．解 (1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由f′＝－a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－，b＝－2.
f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)>0，得x<－或x>1，
令f′(x)<0，得－所以函数f(x)的递增区间是和(1，＋∞)，递减区间是.
(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
由(1)知，当x＝－时，f＝＋c为极大值，
而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，
要使f(x)则只需要c2>f(2)＝2＋c，得c<－1或c>2.
19．解 设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x·4 000·10%元，
而每年的订货电脑的其它费用为·1 600元，
这样每年的总费用为·1 600＋x·4 000·10%元．
令y＝·1 600＋x·4 000·10%，
y′＝－·5 000·1 600＋·4 000·10%.
令y′＝0，解得x＝200(台)．
也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．
20．解 (1)对函数f(x)求导数，得
f′(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex
＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.
令f′(x)＝0，得[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，
从而x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
其中x1当x变化时，f′(x)、f(x)的变化如下表：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
当f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取到极小值．
当a≥0时，x1<－1，x2≥0.
f(x)在(x1，x2)为减函数，在(x2，＋∞)为增函数．
而当x<0时，f(x)＝x(x－2a)ex>0；
当x＝0时，f(x)＝0，所以当x＝a－1＋时，f(x)取得最小值．
(2)当a≥0时，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a－1＋≥1，
解得a≥.
综上，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a≥.即a的取值范围是.
21．(1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
2(1－ln 2＋a)
?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
22．(1)解 ∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋.
∵x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明 令F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2－x3＋ln x，
∴F′(x)＝x－2x2＋＝
＝＝.
∵x>1，∴F′(x)<0，
∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
∴F(x)∴f(x)∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
课件63张PPT。知能整合提升一、变化率与导数
1．函数的变化率
(1)相关概念
(2)有关说明
①瞬时变化率是平均变化率的极限．
②函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢：绝对值越大，函数增减得越快；从图象上看表现为曲线的陡缓程度：绝对值越大，图象越陡．三、函数的单调性与导数
1．导数与函数单调性的定义
函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间内单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．讨论函数单调性应注意的问题
(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间．
(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(4)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．例如，f(x)＝x3.
(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.
(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间上仍为增函数．
四、函数的极值、最值与导数
1．可导函数的极值
(1)定义
设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点x都有f(x0)>f(x)(或f(x0)可导函数的极值点一定是其导数为0的点；反之，导数为0的点不一定是该函数的极值点，所以导数为0的点是该点为极值点的必要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”．举例如下：
①导数为0的点是极值点：f(x)＝x2，f′(0)＝0，x＝0是极小值点；
②导数为0的点不是极值点：f(x)＝x3，f′(0)＝0，x＝0不是极值点．
五、生活中的优化问题举例
1．导数在实际生活中的应用主要有以下几个方面
(1)与几何有关的最值问题(面积和体积等的最值)；
(2)与物理学有关的最值问题(功和功率等的最值)；
(3)与利润及其成本有关的最值问题；
(4)效率最值问题．2．解决优化问题的一般思路(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，做出正确的判断，确定其答案．热点考点例析导数的几何意义的应用【点拨】 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．常见类型有两种：一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”；这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) (1)
又y1＝f(x1) (2)
由(1)，(2)求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[规范解答] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为
y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.【点拨】 导数与函数的单调性相结合的常见问题：
(1)判断单调性；
(2)求函数的单调区间；
(3)已知单调性，求参数的值．
特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能用“∪”连接．
(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．利用导数研究函数单调性 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
[思维点击] 利用导数求解，注意(1)(2)两问求解的区别． 2．求函数y＝x3－3x＋1的单调区间．
解析： y′＝3x2－3
解3x2－3>0得x>1或x<－1.
解3x2－3<0得－1∴函数y＝x3－3x＋1的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1)．【点拨】 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．利用导数研究函数的极值和最值2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)中得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． (2)x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： 【点拨】 1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数解．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．利用导数解决生活中的优化问题
2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[思维点击] 1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析： 函数的瞬时变化率处处为0，说明函数的导数为0，即函数是一个常数函数，即y＝c(c为常数)，所以图象应为x轴或平行于x轴的直线．
答案： D
2．若对任意x∈R，f′(x)＝3x2，f(1)＝2，则f(x)等于( )
A．x3－1 B．x3＋1
C．x3＋2 D．x3－2
解析： f′(x)＝3x2，∴f(x)＝x3＋c(c为常数)；又∵f(1)＝2，∴c＝1，∴f(x)＝x3＋1.
答案： B3．已知函数y＝(x＋1)2(x－1)，则x＝－1是函数的( )
A．极大值点 B．极小值点
C．最小值点 D．最大值点答案： A 4．函数y＝x2cos x的导数为( )
A．y′＝2xcos x－x2sin x
B．y′＝x2cos x－2xsin x
C．y′＝2xcos x＋x2sin x
D．y′＝xcos x－x2sin x
解析： y′＝(x2cos x)′＝2xcos x＋x2(－sin x)
＝2xcos x－x2sin x.
答案： A
5．方程x3＋x2＋x＋a＝0(a∈R)的实数根的个数为________．
解析： 设f(x)＝x3＋x2＋x＋a，
则f′(x)＝3x2＋2x＋1>0恒成立
∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
∴f(x)＝0只有一个根．
答案： 1
6．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值与最小值之和为________．
解析： f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)
∴f(x)在[－3，－1]上递增，在[－1,0]上递减
f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1
∴f(x)max＝3，f(x)min＝－17.
答案： －14
7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解析： (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)，令f′(x)<0，即－3(x－3)(x＋1)<0，解得x<－1或x>3.所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)令f′(x)＝0，因为x∈[－2,2]，所以x＝－1.当－20.所以x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，即最小值为f(－1)＝a－5.又f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.因为a＋22>a＋2，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值为f(2)＝a＋22＝20，所以a＝－2.此时a－5＝－7.
所以函数在该区间上的最小值为－7.8．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．谢谢观看！