变化率问题
课前预习学案
预习目标
了解平均变化率的定义。
二、预习内容
[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_______________
[问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题4] 平均变化率表示什么?
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
二、学习过程
学习探究
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
新知：平均变化率：
试试：设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即
= 或者= ，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即= ；如果它们的比值，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
典型例题
例1 过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
例2 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
反思总结
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1. 在内的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C． D．
3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知，从到的平均速度是_______
5. 在附近的平均变化率是____
6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
课后练习与提高
已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
2. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器
甲中水的体积（单位：），
计算第一个10s内V的平均变化率.
3.1.1变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：
情景导入：
展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1 过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
例2 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
反思总结
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1. 在内的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C． D．
3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知，从到的平均速度是_______
5. 在附近的平均变化率是____
6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
【板书设计】：略
【作业布置】：略
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：.
①平均速度；
②曲线割线的斜率.
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即_______________＝
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；
②切线斜率.
2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的 ，记为 或
即f′(x0) ＝
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上都不对
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．设f(x)在x＝x0处可导，则等于 ( )
A．－f′(x0) B．f′(－x0)
C．f′(x0) D．2f′(x0)
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
6．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0 B．－at0 C.at0 D．2at0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．
9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝.
2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率；0 .→0 .
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3．1.1 变化率问题
3．1.2 导数的概念
答案
知识梳理
1．
2． 导数 f′(x0) y′|x＝x0
作业设计
1．A
2．B [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx.]
3．B [＝＝＝－1.]
4．A [＝－＝－＝－f′(x0)．]
5．B [∵＝＝－Δx－3，
∴＝－3.]
6．A [∵＝＝aΔt＋at0，
∴ ＝at0.]
7．0.41
8．1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
9．4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，t＝1时的瞬时加速度是li ＝li (Δt＋4)＝4.
10．解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：
＝＝－6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
＝＝4.
11．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－
＝＝，
∴＝，
∴ ＝
＝＝－，
∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.
12．2
解析 由导数的定义，
得 f′(0) ＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b.
又，∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
13．解 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at
＝at0Δt＋a(Δt)2，
所以＝at0＋aΔt.所以0 ＝li ＝at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s，
所以at0＝8×102＝800 (m/s)．
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教A版选修1-1
设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．
教学目标
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
教学重点
通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；
掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；
教学难点：平均变化率的概念．
教学准备
认真阅读教材、教参，寻找有关资料；
向有经验的同事请教；
从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．
教学过程
一．创设情景
让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？
学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．
让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1气球膨胀率问题：
老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；
（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
（二）平均变化率概念:
引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
师生一起讨论、分析，得出结果；
计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
让学生进行课堂小结.
（1） 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；
（2） 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；
（3） 函数的平均变化率的概念 ；
（4） 求函数的平均变化率的步骤；
（5） 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？
（6） 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念．
六．补充实例
例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
例２ 情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
【解析】 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C.
【答案】 C
2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
【解析】 ∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx.故选D.
【答案】 D
3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
【解析】 因为＝＝＝18＋3Δt，所以 ＝18.
【答案】 B
4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
图3－1－1
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 ＝＝＝－1.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为( )
A．0 B．3
C．3 D．6
【解析】 f′(x0)＝ ＝
＝
＝ (－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0＝4，所以x0＝3.
【答案】 C
二、填空题
6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
【解析】 ＝＝7Δt＋14t0，
当 (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
【答案】
7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
【解析】 Δy＝－
＝－＝＝，
∴＝＝－，
即k＝＝－.
∴当Δx＝1时，k＝－＝－.
【答案】 －
8．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.
【解析】 ＝
＝ ＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
【解】 ∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－
＝4Δx＋(Δx)2＋，
∴＝4＋Δx－，
∴y′|x＝2＝
＝
＝4＋0－＝.
10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围.
【解】 因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
[能力提升]
1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
【解析】 k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
【答案】 D
2．设函数在x＝1处存在导数，则 ＝( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
【解析】 ＝ ＝f′(1)．
【答案】 C
3．如图3－1－2是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
图3－1－2
【解析】 由函数f(x)的图象知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：＝＝.
【答案】
4．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；
(3)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度.
【解】 (1)＝＝3－Δt.
当Δt→0时，→3，
所以v0＝3.
(2)
＝＝－Δt－1.
当Δt→0时，→－1，
所以t＝2时的瞬时速度为－1.
(3)＝＝＝1.
课件25张PPT。
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题变化率问题内容：函数平均变化率的概念,求函数平均变化率的一般步骤.应用求函数在某区间上的平均变化率求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．导数研究的问题 变化率问题 气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?高台跳水请计算h(t)=-4.9t2+6.5t+10(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运
动状态.计算运动员在 这段时间里的平均速度，
并思考以下问题：虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止．平均变化率定义:若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子 表示
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘；
式子中△x 、△ y的值可正、可负，
但△x值不能为0，△y的值可以为0;
因此，平均变化率可正，可负，也可为零；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式观察函数f(x)的图象平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率54.1【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，
4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”．问题：当自变量表示由3月18日开始计算的天数，表示气温，记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A口诀：一差、二化、三极限1.函数的平均变化率课件44张PPT。 第 三 章 导数及其应用3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念自主学习 新知突破1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
3．会利用导数定义求函数在某一点处的导数．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？函数的变化率(x1，x2) x＝x0 导数的概念瞬时x＝x0对函数在某点处导数的认识
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．答案： B 答案： D
3．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为________．
解析： 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
答案： －4.8 m/s合作探究 课堂互动求平均变化率 (1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：
① 2；②1；③ 0.1；④ 0.01.
(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．求函数在某点处的导数 求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 瞬时速度与平均速度的求解 一个直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度． [思路点拨] 3．质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2时的瞬时速度．答案： C 谢谢观看！
