导数的概念
课前预习学案
预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。
预习内容：
1：气球的体积V与半径之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.
2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：. 求在这段时间里，运动员的平均速度.
3：求2中当t=1时的瞬时速度。
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
学习重难点： 1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用
二、学习过程
合作探究
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2： 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
典型例题
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2 已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(1)当t=2，Δt=0.01时，求.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量；
第二步：求平均变化率；
第三步：取极限得导数.
有效训练
练1. 在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度
反思总结：
这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v=
当堂检测
1. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度；
Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度；
Ｄ．从时间到时物体的平均速度
2. 在 =1处的导数为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
3. 在中，不可能（ ）
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
4.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为
5. 若，则等于
课后练习与提高
1. 高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度是：(单位: m),求运动员在时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
2. 一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能. 求物体开始运动后第5s时的动能.
3.1.2导数的概念教案
【教学目标】：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【教学重难点】：
教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点：导数概念的理解
【教学过程】：
情境导入：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度。这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t=1时的瞬时速度。
展示目标：略
检查预习：见学案
合作探究：
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2： 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
精讲精练：
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
(1)当t=2，Δt=0.01时，求.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度
有效训练：练1. 在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度
反馈测评：见学案
板书设计：略
作业布置：略
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：.
①平均速度；
②曲线割线的斜率.
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即_______________＝
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；
②切线斜率.
2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的 ，记为 或
即f′(x0) ＝
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上都不对
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．设f(x)在x＝x0处可导，则等于 ( )
A．－f′(x0) B．f′(－x0)
C．f′(x0) D．2f′(x0)
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
6．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0 B．－at0 C.at0 D．2at0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．
9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝.
2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率；0 .→0 .
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3．1.1 变化率问题
3．1.2 导数的概念
答案
知识梳理
1．
2． 导数 f′(x0) y′|x＝x0
作业设计
1．A
2．B [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx.]
3．B [＝＝＝－1.]
4．A [＝－＝－＝－f′(x0)．]
5．B [∵＝＝－Δx－3，
∴＝－3.]
6．A [∵＝＝aΔt＋at0，
∴ ＝at0.]
7．0.41
8．1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
9．4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，t＝1时的瞬时加速度是li ＝li (Δt＋4)＝4.
10．解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：
＝＝－6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
＝＝4.
11．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－
＝＝，
∴＝，
∴ ＝
＝＝－，
∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.
12．2
解析 由导数的定义，
得 f′(0) ＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b.
又，∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
13．解 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at
＝at0Δt＋a(Δt)2，
所以＝at0＋aΔt.所以0 ＝li ＝at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s，
所以at0＝8×102＝800 (m/s)．
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
高中数学 3.1.2导数的概念教案 新人教A版选修1-1
[教学目的]
1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；
2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法
3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
[教学重点和难点] 导数的概念是本节的重点和难点
[教学过程]
一、复习提问(导数定义的引入)
1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)
2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
二、新课
我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分
表格1
表格2
时，在这段时间内
时，在这段时间内[
当0.01时，13.051；
当0.01时，13.149；
当0.001时，13.095 1；
当0.001时，13.104 9；
当0.000 1时，13.099 51；
当0.000 1时，13.100 49；
当0.000 01时，13.099 951；
当0.000 01时，13.100 049；
当0.000 001时，13.099 995 1；
当0.000 001时，13.100 004 9；
。。。。。。
。。。。。。
问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）
关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；
-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。
分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。
这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1，现在我们一起回忆一下是如何得到的：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知函数y＝f(x)的图象如图3－1－6，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
图3－1－6
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
【解析】 f′(A)与f′(B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(A)【答案】 B
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【解析】 f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．
【答案】 B
3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
【解析】 ∵y＝x2，
∴k＝y′＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，
∴x＝，则y＝.
【答案】 D
4．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】 与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
【答案】 A
5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝
＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3.
∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．
【答案】 B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
【解析】 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
【答案】 3
7．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________.
【解析】 设切点P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0，
由?
即P(1,3)．
又P(1,3)在直线4x－y＋m＝0上，
故4×1－3＋m＝0，∴m＝－1.
【答案】 －1
8．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】 由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
【解】 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．
【解】 y′＝
＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
[能力提升]
1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解析】 令x→0，则2x→0，所以 ＝ ＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.
【答案】 B
2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是( )
图3－1－7
【解析】 由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．
【答案】 B
3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
图3－1－8
【解析】 由题图可知切线方程为y＝－x＋，
所以f(2)＝，f′(2)＝－，
所以f(2)＋f′(2)＝.
【答案】
4．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解】 由＝＝2x＋Δx，
得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式得所求切线方程为：
y－y0＝2x0(x－x0)．
又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．
课件25张PPT。3.1.2 导数的概念导数的概念内容：利用导数的概念求导数应用求函数在某处的导数求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。平均变化率 一般的，函数 在区间上 的平均变化率为 其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。
复习： 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h
（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系
h=-4.9t2+6.5t+10求ｔ＝2时的瞬时速度？我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
当△ｔ＞0时，在2之后。当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?１、函数的平均变化率怎么表示？定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即导数的作用：在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么
半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的
基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形
式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二商、三极限例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 求函数在某处的导数例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. (1)求函数y=x2在x=1处的导数;
(2)求函数 在x=2处的导数.
计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时
变化率，并说明它们的意义。这说明:
在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。1.求物体运动的瞬时速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率
(3)求极限1803课件44张PPT。 第 三 章 导数及其应用3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念自主学习 新知突破1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
3．会利用导数定义求函数在某一点处的导数．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？函数的变化率(x1，x2) x＝x0 导数的概念瞬时x＝x0对函数在某点处导数的认识
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．答案： B 答案： D
3．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为________．
解析： 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
答案： －4.8 m/s合作探究 课堂互动求平均变化率 (1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：
① 2；②1；③ 0.1；④ 0.01.
(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．求函数在某点处的导数 求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 瞬时速度与平均速度的求解 一个直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度． [思路点拨] 3．质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2时的瞬时速度．答案： C 谢谢观看！
