3. 2.1几个常用函数导数
课前预习学案
（预习教材P88~ P89，找出疑惑之处）
复习1：导数的几何意义是：曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
复习2：求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
=
上课学案
学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程；
2.学会利用公式，求一些函数的导数；
3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.
学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程
学习过程
合作探究
探究任务一：函数的导数.
问题：如何求函数的导数
新知：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .
若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为
即一直处于静止状态.
试试： 求函数的导数
反思：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .
若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为
探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数增（减）的快慢与什么有关？
典型例题
例1 求函数的导数
解析：因为
所以
函数
导数
例2 求函数的导数
解析：因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
有效训练
练1. 求曲线的斜率等于4的切线方程.
练2. 求函数的导数
反思总结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .
2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
当堂检测
1.的导数是（ ）
A．0 B．1 C．不存在 D．不确定
2.已知,则（ ）
A．0 B．2 C．6 D．9
3. 在曲线上的切线的倾斜角为的点为（ ）
A． B． C． D．
4. 过曲线上点且与过这点的切线平行的直线方程是
5. 物体的运动方程为，则物体在时的速度为 ，在时的速度为 .
课后练习学案
1. 已知圆面积，根据导数定义求.
2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么天后，氡气的剩余量为，问氡气的散发速度是多少？
3.2.1几个常用函数导数（教案）
教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；
2、能利用导数公式求简单函数的导数。
教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用
教学过程：
检查预习情况：见学案
目标展示： 见学案
合作探究：
探究任务一：函数的导数.
问题：如何求函数的导数
新知：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .
若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为
即一直处于静止状态.
试试： 求函数的导数
反思：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .
若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为
探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数增（减）的快慢与什么有关？
典型例题
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数
导数
表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数图像上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数
导数
5．函数的导数
6推广：若，则
反思总结
1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .
2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
当堂检测
1.的导数是（ ）
A．0 B．1 C．不存在 D．不确定
2.已知,则（ ）
A．0 B．2 C．6 D．9
3. 在曲线上的切线的倾斜角为的点为（ ）
A． B． C． D．
4. 过曲线上点且与过这点的切线平行的直线方程是
5. 物体的运动方程为，则物体在时的速度为 ，在时的速度为 .
板书设计 略
作业 略
§3.2导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
课时目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．函数y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数y＝c图象上每一点处，切线的斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．
2．常见基本初等函数的导数公式：
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______；
(2)若f(x)＝xα (α∈Q*)，则f′(x)＝________；
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________；
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________；
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝________ (a>0)；
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝________；
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)；
(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x，则y′＝3
2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′|x＝3＝－.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－ C．－e D．e
4．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．∪ B．[0，π)
C． D．∪
5．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．
6．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A． B．
C． D．
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．曲线y＝cos x在点A处的切线方程为__________________________．
8．已知f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a＝
________________________________________________________________________.
9．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝10x.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
能力提升
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
13．求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．
2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．
3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．
§3.2 导数的计算
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
知识梳理
1．y′＝0 瞬时速度 静止 y′＝1 瞬时速度 匀速直线
2．(1)0 (2)αxα－1 (3)cos x (4)－sin x
(5)axln a (6)ex (7) (8)
作业设计
1．B [y′＝′＝(x－)′＝－x－＝－.]
2．B [直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin ＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，则y′|x＝3＝－，
所以③正确．]
3．D [设切点为(x0，y0)．由y′＝ex，
得y′|x＝x0＝ex0，
∴过切点的切线为y－ex0＝ex0(x－x0)，
即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，又y＝kx是切线，
∴ ∴]
4．A [∵y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．
∴直线l的斜率的范围是[－1,1]，
∴直线l倾斜角的范围是∪.]
5．B [y′＝3x2，∵k＝3，
∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
6．B [s′＝t－.
当t＝4时，s′＝·＝.]
7．x＋2y－－＝0
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴y′|x＝＝－sin ＝－，
∴在点A处的切线方程为y－＝－，
即x＋2y－－＝0.
8．4
解析 ∵f′(x)＝axa－1，
∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.
9．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，
∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
10．解 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.
(4)y′＝(10x)′＝10xln 10.
11．解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．－2
解析 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，
得x＝.
an＝lg xn＝lg＝lg n－lg(n＋1)，
则a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.
13．解 ∵y′＝ex，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e，
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k＝－，
∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，
即x＋ey－e2－1＝0.
高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案 新人教A版选修1-1
教学重点和难点
1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数。
教学方法：
自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。
教学过程：
一、复习
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。
二、新课
推导下列函数的导数
1、求的导数。
解：，
2、求的导数。
解：，
。
表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为1.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
思考：(1).从求，，，的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？
(2).函数增的快慢与什么有关？
可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.
3. 求函数的导数。
解： ，
。
表示函数图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：
(1) 当x<0时，随着 x的增加，减少得越来越慢；
（2）当x>0时，随着 x的增加，增加得越来越快。
4. 求函数的导数。
解：
思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？
，所以其切线方程为。
(2)改为点（3，3），结果如何？
三、例题
1. 试求函数的导数。
解：
2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。
解：，设切点为，则
因为PQ的斜率又切线平行于PQ，
所以，即，切点，
所求直线方程为。
四 练习
1.如果函数，则（ ）
A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在
2.曲线在点（0，1）的切线斜率是（ ）
A.-4 B.0 C.2 D. 不存在
3.曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A. B. 1 C. D.
答案：
1.C 2.B 3.C
五、小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；
2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。
课件22张PPT。
第3章 导数及应用
3.2.1 几个常用函数的导数几个常用函数的导数内容：根据导数的定义求四个常用函数的导数应用根据导数定义求出函数的导数求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习根据导数定义求出几个常用函数的导数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导，探究交流”为主，新知识是学生在已有知识的基础上探究而来，例题的处理非常灵活，变式训练设计合理，过渡有水到渠成之感，整堂课下来充实流畅.
在讲述利用导数求切线方程时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过2个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，有利于对不同的学生进行因材施教。1.导数的定义是什么？2.导数的几何意义是什么？地球的变幻—导数与函数的变幻地球脉动函数 y = f (x) =c 的导数y?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解：从物理的角度理解：函数 y= f (x)=x 的导数y?=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解：从物理的角度理解： 函数 y = f (x) = x2 的导数y? =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,
说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.从几何的角度理解：从物理的角度理解：若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.例1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?问题3：如何求这条切线方程？
本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？2．思想：归纳概括思想、类比思想、数形结合的思想．TehEnd课件39张PPT。3.2 导数的计算自主学习 新知突破
[问题1] 是否有更简便的求导数的方法呢？
[提示1] 有简便的方法，利用求导公式及运算法则．
[问题2] 怎样求y＝x2＋sin x的导数？
[提示2] y′＝(x2)′＋(sin x)′＝2x＋cos x.几个常用函数的导数012x基本初等函数的导数公式nxn－1cosx－sinxaxlnaex导数的运算法则解析： 答案： B 答案： D
3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为________．
解析： y′＝ex，∴k＝e0＝1.
答案： 1合作探究 课堂互动求函数的导数 求函数的导数时的注意点：
(1)要遵循先化简函数解析式，再求导的原则．
(2)化简时注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
(3)求导时，既要重视求导法则，更要注意求导法则对导数的制约作用．
特别提醒：利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数．求导法则的逆向应用 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式． 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．导数的应用 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[思路点拨] 求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程．
3．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，求切线的方程．
【错解】 由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值，而f′(x)＝6x2－3，所以k＝f′(0)＝0－3＝－3.所以切线方程为y＝－3x＋32.
【错因】 错解中没有验证点M与曲线的位置关系，而直接把它当作是曲线上的切点．谢谢观看！
