北师大版数学八年级上册2.7.3 二次根式的混合运算教学设计
课题
2.7.3二次根式的混合运算
单元
第二单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简.
过程与方法：利用二次根式的化简解决简单的数学问题,通过独立思考,能选择合理的方法解决问题.
情感态度与价值观：在运算过程中巩固知识,通过与他人交流总结方法.
重点
利用二次根式的化简,解决简单的数学问题.
难点
根号内含有字母的二次根式的化简.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：实数的运算法则、运算律在二次根式中也适用。
想一想：二次根式满足什么运算律。
师：加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
分配律
在七年级学习有理数的时候，我们学过混合运算，二次根式也同有理数一样，能够进行混合运算，运算顺序和有理数一样，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的，下面我们通过几个例题，来感受一下.
生：
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
分配律
这一环节主要是复习旧知识和提出问题,通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣,并让他们产生解决问题的强烈欲望.
讲授新课
师：计算
；（2）；
（3）
解：（1）＝＝＝＝；
（2）＝＝＝；
(3)
＝
＝
＝
＝
＝＝．
你还有其他解法吗？
思考：还可以继续化简吗？为什么？
在这个题目中，很容易看出化成最简二次根式后与 化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式。
【总结归纳】
在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:
(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.
(3)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
【议一议】化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
把a=3，b=2代入代数式中，
你还有其他解法吗？
【总结归纳】
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
【做一做】如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？
（1）直接求法．
过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE
都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得
AB＝， CD＝，DE＝，面积梯形ABCD的面积是
＝18.
（2）间接求法．
将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积是＝18．
学生根据所学知识学例题。
思考其他的解法。
引导学生观察进行二次根式的混合运算时应注意的问题，
也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．
学生思考回答问题，在教师的引导下解决问题。
在这里让学生原有的知识和经验出发，引导学生通过类比、思考、探索、交流来获取知识和学会学习，同时让学生经历数学知识的形成与应用过程，使他们更好地理解数学概念的形成，发展他们的数学能力。
通过小组讨论合作交流，思考其他的解法。
这样让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究的过程中发展思维能力，有效的改变学生旧有学习方式。
例题采取学生自己先动手做，再由教师点评，最后师生共同小结的方式完成。这种师生互动的形式激发了学生学习的热情，使学生主动地获取了知识和技能。
在这里让学生原有的知识和经验出发，引导学生通过类比、思考、探索、交流来获取知识和学会学习，同时让学生经历数学知识的形成与应用过程，使他们更好地理解数学概念的形成，发展他们的数学能力。
课堂练习
1.化简
(1)(2+3)(2-3); (2)(-)2; (3)(-1)÷(+1).
解:(1)(2+3)(2-3)=(2)2-32=12-9=3.
(2)(-)2=()2-2+()2=3x-2+y.
(3)(-1)÷(+1)
=
=
=2-2+1=3-2.
3.长方形的长和宽分别为3 cm,2 cm,这个长方形的面积是 .?
4.三角形的三边长分别是 cm, cm, cm,这个三角形的周长是 .?
5.直角三角形的两直角边长分别是 cm, cm,这个直角三角形的斜边长是 .?
已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,求 -的值.
解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，所以a+b=0，cd=1，
所以
4.（2019·聊城）下列各式不成立的是（ ）
5.（2019·益阳）观察下列等式：
请你根据以上规律，写出第6个等式：
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.
(4)在计算过程中,注意在有理数中学到的公式法则,在二次根式的运算中同样适用.比如平方差公式、完全平方公式.
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
2.7.3二次根式
(1)综合运算
(2)化简求值
(3)实际应用
课件26张PPT。2.7.3 二次根式的混合运算北师版 八年级上新知导入实数的运算法则、运算律在二次根式中也适用。想一想：二次根式满足什么运算律。（1）加法交换律：（2）加法结合律：（4）乘法结合律：（3）乘法交换律：（5）分配律：新知导入在七年级学习有理数的时候，我们学过混合运算，二次根式也同有理数一样，能够进行混合运算，运算顺序和有理数一样，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的，下面我们通过几个例题，来感受一下.新知讲解【例】计算：解：新知讲解【例】计算：你还有其他解法吗？新知讲解思考：还可以继续化简吗？为什么？【例】计算：在这个题目中，很容易看出， 化成最简二次根式后与 化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留 ，不必将它化成最简二次根式。新知讲解在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:
(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算
乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
(2)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二
次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.【总结归纳】新知讲解在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:
(3)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同
的二次根式可以看做“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合
律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的
运算中仍然适用.【总结归纳】新知讲解【议一议】化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？把a=3，b=2代入代数式中，原式=先代入后化简你还有其他解法吗？新知讲解【议一议】化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？先代入后化简原式=把a=3，b=2代入代数式中，原式哪种简便？新知讲解 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．【总结归纳】新知讲解【做一做】如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？新知讲解方法（1）直接求法.
过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE都是某一个直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得AB= ,
CD= ,DE= ,梯形ABCD的面积是E新知讲解方法（2）分割法
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.S1S2S3S梯形ABCD=S1+S2+S3
新知讲解方法（3）补图法
将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个小三角形的面积,得梯形ABCD的面积是
5×7- ×5×5- ×4×2- ×1×1=18.课堂练习1.化简课堂练习拓展提高3.已知a,b互为相反数，c，d互为倒数，求 的值。解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，所以a+b=0，cd=1，
所以中考链接4.（2019·聊城）下列各式不成立的是（ ）C中考链接5.（2019·益阳）观察下列等式：请你根据以上规律，写出第6个等式：
_____________________________课堂总结(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.(2)有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.这节课你学到了什么？课堂总结(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.(4)在计算过程中,注意在有理数中学到的公式法则,在二次根式的运算中同样适用.比如平方差公式、完全平方公式.这节课你学到了什么？板书设计2.7.3二次根式
(1)综合运算
(2)化简求值
(3)实际应用作业布置课本 P47 练习题
P48 习题2.11谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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