北师大版 数学 九年级上 2.1 认识一元二次方程（1） 教学设计
课题
2.1 认识一元二次方程（1）
单元
第二章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：理解一元二次方程的概念，能应用一元二次方程概念解决一些简单题目；
过程与方法：通过探究实际问题来发现新知，培养学生的观察能力和思维能力；
情感态度与价值观：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重点
一元二次方程的概念
难点
如何把实际问题转化为方程
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在前面的学习中，我们学习了菱形和矩形的相关知识，请回答：
问题1、我们知道，方程是刻画现实生活中等量关系的有效模型，那么，什么是方程呢？
答案：含有未知数的等式，叫做方程.
问题2、我们都学习过哪些方程呢？
答案：一元一次方程；二元一次方程（组）；分式方程
学生积极回答老师的问题.
通过回答问题，为学习一元二次方程的概念做好铺垫
新知讲解
我们一起来看下面的问题：
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
/
追问：如果设所求的宽度为xm，那么你能列出怎样的方程？
答案：(8-2x)(5-2x)=18
问题2：（1）观察下面等式：102+112+122=132+142．你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
答案：（-2）2+(-1)2+02=12+22
（2）如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？
答案：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
问题3：如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
/
追问：如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？
答案：(x+6)2+72=102
观察：下面的这三个方程有什么共同点呢？
(8-2x)(5-2x)=18
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
(x+6)2+72=102
即：2x2－13x+11=0
x2－8x-10=0
x2+12x-15=0
归纳：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
练习1：下列方程是一元二次方程的有( )
①2x2＋y－6＝0；
②x2＋＝3；
③x2－x－2＝0；
④x2－2＋5x4－6x＝0；
⑤3x2－3x＝3(x2－2)，
A．1个 B.2个 C．3个 D．4个
答案：A
归纳：一元二次方程的三个特征：
(1)等式两边都是整式；
(2)只含一个未知数；
(3)未知数的最高次数是2．
讲解：
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
其中：
二次项：ax2；二次项系数：a；
一次项：bx；一次项系数：b；
常数项：c
练习2：一元二次方程x2－2x＝1的一般形式是________，二次项是______，二次项系数是______，一次项是______，一次项系数是______，常数项是______．
答案：x2－2x－1＝0；x2；1；－2x；－2；－1.
学生认真读题，思考后列出方程，然后回答问题.
学生认真观察、思考，然后互相交流，最后与老师共同归纳出一元二次方程的概念
学生独立完成后，班内交流，并认真听老师的讲评.
学生认真听老师的讲解，并独立完成下面的练习题.
体会方程思想在生活中的应用，为探究一元二次方程的概念做好准备.
理解一元二次方程的概念.
应用一元二次方程的概念进行判断，进一步提高学生对一元二次方程概念的理解.
认识一元二次方程中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.
课堂练习
1.若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为( )
A．±2 B．2 C．－2 D．以上都不对
答案：B
2.把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2
答案：A
3．把方程（3x+2）2=4（x-3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：一元二次方程的一般形式：5x2+36x–32=0
二次项系数：5
一次项系数：36
常数项：-32
4.关于x的一元二次方程（m-2）x2+5x+m2-4=0的常数项是0，则（ ）
A．m=4 B．m=2 C．m=2或m=-2 D．m=-2
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0，试求a，b，c的值．
解：一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为ax2+（-2a+b）x+（a-b+c）=0，
由题意可知，此一元二次方程化为一般形式后为
2x2-3x-1=0，
解得
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019·山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为__________________.
/
答案：（12-x）（8-x）=77
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、什么是一元二次方程？
答案：只含有一个未知数x的整式方程1，并且都可以化成ax2+bx+c＝0（a,b,c为常数,a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
问题2、对于一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)中，哪些是二次项、一次项和常数项，二次项系数和一次项系数？
答案：ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第32页习题2.1第1、2题
能力作业
教材第33页习题2.1第3题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
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课件20张PPT。认识一元二次方程（1）数学北师大版 九年级上新知导入1、我们知道，方程是刻画现实生活中等量关系的有效模型，那么，什么是方程呢？含有未知数的等式，叫做方程.2、我们都学习过哪些方程呢？一元一次方程二元一次方程（组）分式方程新知讲解问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m 2 的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？(8 - 2x) (5 - 2x) =18 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程？新知讲解
问题2：
（1）观察下面等式：
102 + 112 + 122 = 132 + 142 ．
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
（2）如果将这五个连续整数中的第一个数设为 x，那么怎样用含 x 的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？（-2）2 + ( - 1) 2 +02 = 12 + 22x2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = ( x + 3) 2 + ( x + 4) 2新知讲解
问题3：如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？( x + 6)2+ 72= 102如果设梯子底端滑动 x m，那么你能列出怎样的方程？新知讲解(8 - 2x) (5 - 2x) =18x2+(x+1)2+ (x+2)2=(x+3)2+(x+4)2( x +6)2+72=102观察：下面的这三个方程有什么共同点呢？2x2－13x +11=0x2－8x - 10=0x2+12x -15=0只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+ c=0(a, b, c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.新知讲解练习1：下列方程是一元二次方程的有( )
①2x2＋y－6＝0；
②x2＋ ＝3；
③x2－x－2＝0；
④x2－2＋5x4－6x＝0；
⑤3x2－3x＝3(x2－2)，
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
A一元二次方程的三个特征：
(1)等式两边都是整式；
(2)只含一个未知数；
(3)未知数的最高次数是2．新知讲解一元二次方程的一般形式二次项一次项常数项ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c 为常数, a ≠0 ) 温馨提示：
a，b 分别称为二
次项系数和一次项系数.新知讲解练习2：一元二次方程x2－2x＝1的一般形式是 _______________，
二次项是______，二次项系数是______，
一次项是______，一次项系数是______，
常数项是______．x2－2x－1＝01－2－1x2－2x课堂练习1. 若方程(a＋2)x a 2－2－(a－2)x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为( )
A．±2 B．2
C．－2 D．以上都不对B课堂练习2. 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c 的值分别是( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2A课堂练习3．把方程（3x + 2）2 = 4（x - 3）2 化成一元二次方程的一般形式， 并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：一元二次方程的一般形式：5 x 2 +36x – 32=0
二次项系数：5
一次项系数：36
常数项：-324. 关于x的一元二次方程（m-2）x2+5x+m2-4=0的常数项是0，则（ ）
A．m=4 B．m=2
C．m=2或m=-2 D．m=-2D课堂练习课堂小结拓展提高一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0，试求a，b，c的值．解：一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为
ax2+（-2a+b）x+（a-b+c）=0，
由题意可知，此一元二次方程化为一般形式后为
2x2-3x-1=0，
解得中考链接（2019·山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为________________________.（12-x）（8-x）=77课堂总结1.什么是一元二次方程？2.对于一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数,a≠0)中，哪些是二次项、一次项和常数项，二次项系数和一次项系数？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax2+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2 ，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项系数板书设计
课题：2.1认识一元二次方程（1）?
教师板演区
学生展示区1、一元二次方程概念
2、二次项、一次项和常数项，二次项系数和一次项系数的认识.基础作业
教材第32页习题2.1第1、2题
能力作业
教材第33页习题2.1第3题作业布置
