15.2 线段的垂直平分线课时作业 有答案

15.2 线段的垂直平分线课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上．有下列结论：
①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；③AD=AE；④BD=DC=CE．
其中，正确的结论是（　　）
A．只有 B．只有 C．只有 D．只有
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是
（　　）
A． B．
C． D．
如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（　　）
A． 直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 等边三角形
如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（　　）
A． 45° B． 50° C． 55° D． 60°
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，△ABD的周长为12，AC＝5，则△ABC的周长是________．
中，若，的垂直平分线交于点，且的周长为，则__________.
如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．
如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE=28°，则∠BAC=_________.
如图，△ABC中∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，且EC=DE，则∠B的度数为____________________________．
两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有_____(填序号)．
①AC⊥BD；②AC，BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC＝90°；⑤筝形ABCD的面积为AC·BD.
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于D，交AC于E，△ABD的周长为15cm，而AC＝5cm，求△ABC的周长。
如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法），
（2）请说明作图理由．
已知：如图，△ABC中，∠A的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F．求证：AB﹣AC=2CF．
如图，△ABC中，AC=10，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D；
（1）如果△BCD的周长为16，求BC的长；
（2）如果BC=8，求△BCD的周长.

答案解析
、选择题
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
解：∵由作图可知，EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，故A选项正确，
OA＝OB，故B选项正确，
OE＝OF，故C选项错误，
PO⊥AB，故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CE，又可判定AB=AC，可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，由于∠E不一定等于30°，于是得到AD不一定等于AE，由BD=CD＜AC，故④错误．
解：∵BD=CD，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE，
∴AB=AC=CE，故①正确，
∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，故②正确，
∵∠E不一定等于30°，
∴AD不一定等于AE，故③错误，
∵BD=CD＜AC，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°?∠AEB，
∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．
解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和．
【考点】作图—复杂作图，线段垂直平分线
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
解：A．如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
【考点】线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
【分析】先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可.
解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO=OB，AO=OC，
所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，
∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC＞90°，
即△ABC是钝角三角形，
故选C
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BAC＞∠ABC+∠ACB是解此题的关键，用了数形结合思想．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案．
解：连接AC，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵AB+BC=BE，BC+EC=BE，
∴AB=EC=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∴∠B=2∠E，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E，
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，
解得：∠E=25°，
∴∠B=2∠E=50°．
故选B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
、填空题
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据垂直平分线性质得AD=CD,分别表示出△ABD的周长和△ABC的周长即可解题.
解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，
∴AD=CD,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=12,
∵AC＝5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+5=17.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质,属于简单题,根据性质得到AD=AC,转换周长是解题关键.
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据题意和三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
由题意得，AC=AB?2cm，
△ACD的周长=AD+DC+AC=AD+BD+AB?2cm=2AB?2cm=14cm，
解得，AB=8cm，
故答案为：8cm.
【点睛】考查线段垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等.
【考点】 作图—应用与设计作图； 线段垂直平分线的性质．
【分析】以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到结论．
解：如图所示，直线OO′即为所求．
【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．　
【考点】三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，求出∠B+∠C的值，然后根据再根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数即可.
解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∠DAE=28°，
∴2∠B+2∠C+∠DAE=180°，
∴∠B+∠C=76°，
∴∠BAC=180°-76°=104°.
故答案为：104°.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题.
【考点】 线段垂直平分线的性质．角平分线的判定与性质
【分析】 首先连接AE，由AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，可得AE=BE，又由EC=DE，易证得AE平分∠CAB，继而求得答案．
解：连接AE，
∵AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B，
∵△ABC中，∠C=90°，且EC=DE，
∴AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠B=30°．
故答案为：30°．
【点评】 此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定
【分析】根据题意AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O可以证明△ABC≌△ADC、△ABO≌△ADO，可得AC、BD互相垂直，AC平分∠BAD、∠BCD．
解：∵在△ABC与△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；
∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，
∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；
当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；
∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC?BOAC?ODAC?BD．
故⑤正确；
综上所述：正确的说法是①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．再运用全等三角形的性质可得相应的结论．
、解答题
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】先利用两角互余的性质得出，，再由对顶角相等可得出，因为可知，故，由此可得出结论.
证明：∵∠B＋∠A＝90°，∠N＋∠CPN＝90°，
又∵∠CPN＝∠MPA＝∠A，
∴∠B＝∠N，
∴BM＝MN，
∴点M在BN的垂直平分线上．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案.
解： 是的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得为等腰三角形，
，
又 的周长，
的周长.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.
【考点】角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—复杂作图
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图，
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等，
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【考点】 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质首先得出DF=DM，再利用全等三角形的判定定理求出△AFD≌△AMD，即可得出AF=AM，再利用垂直平分线的性质得出CD=BD，进而得出Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得出答案．
证明：连接CD，DB，作DM⊥AB于一点M，
∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
∵AD=AD，
∠AFD=∠AMD=90°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AF=AM，
∵DE垂直平分线BC，
∴CD=BD（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AC+2CF，
∴AB﹣AC=2CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键．
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得AD=BD，结合△BCD的周长为16得到BC+BD+DC=16，于是有BC+AC=16，进而求出BC的长；
（2）根据线段垂直平分线的性质可知AD=BD，于是有BD+DC=AD+DC=AC=10.再根据△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+AC，就能确定△BCD的周长
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC +BC=16，
∵AC=10，
∴BC=6；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=10，BC=8，
∴△BCD的周长= BC+BD+DC=BC+AC=10+8=18.
故答案为（1）6；（2）18.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长计算.