2.2 等差数列 课件（30张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2 等差数列 课件（30张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-02 22:26:55 | ||
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文档简介
课件30张PPT。 2.2 等差数列第一课时在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）2062主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左右。 相差76新课引入通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米9-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.减少6.5观察与思考 ：下面的几个数列：
（1）1 ，3 ， 5 ，7，9，11， ……
（2）3，6，9，12，15，18，……
（3）1，1，1，1，1，1，1，……
（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……问题：这些数列有何特点？特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数对于数列（1），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于2;对于数列（2），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于3;对于数列（3），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于0;对于数列（4），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于-3.新知探究一——等差数列的概念一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.判断标准对等差数列的定义的理解1．如果一个数列，不是从第2项起，而是
从第3项起或第4项起，每一项与它前一
项的差是同一个常数，那么这个数列不
是等差数列．
2．一个数列从第2项起，每一项与它前一
项的差尽管等于常数，这个数列也不一
定是等差数列，因为这些常数不一定相
同．当这些常数不同时，此数列不是等
差数列 对等差数列的定义的理解3．求公差时，要注意相邻两项相减的顺序
d=an+1-an或d=an-an-1(n≥2) ——后-前
4. 要判断一个数列是不是等差数列，只要
看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通
一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2
等有限的几个式子的值后，发现它一个
常数，就得出该数列为等差数列的结论5.常数列一定是等差数列 6.等差数列公差d的讨论——3种 例1、判断下面数列是否为等差数列. （2）不是.因为从第2项起后项与前项的差是：1，2，
3，4，5，‥‥是常数，但不是同一常数. （3）是.因为从第2项起后项与前项的差都是0，符
合等差数列的定义.例2、 观察下列数列是否是等差数列例3、
①数列a，2a，3a，4a，…是等差数列（ ）
②若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3
的等差数列。 （ ）
若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数
列 （ ）
③小结：证明一个数列是等差数列的方法是：
思考1：既然（1）是等差数列，请你动手求数列（1）的第2004项做笔记思考3：求等差数列10，8，6，4……的第20项？2004项？——思路是什么？思考4：能否从思考1的角度出发，考虑思考2的具体做法？思考2：思考1是什么类型的问题？已知什么？求的是什么？思考5：问题转化为——如何求等差数列的通项公式问题：已知等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，求an解法一：由等差数列的定义可知：
a2－a1=d,a3－a2=d,a4－a3=d, ……
则 a2=a1＋d
a3=a2＋d=（a1＋d）＋d=a1＋2d
a4=a3＋d=（a1＋2d）＋d=a1＋3d
……由此可知：an=a1＋（n－1）d
当n=1时,a1=a1＋（1－1）d=a1 等式成立
这表明当n ∈N*时，an=a1＋（n－1）d成立。新知探究二——等差数列的通项公式解法二：等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ，如： 那麽，则由定义得：
a2-a1=d (1)
a3-a2=d (2)
a4-a3=d (3)
a5-a4=d (4)
、、、、、
an-a n-1=d分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_____个式子相加，则有： n-1 等号左边为：an-a1 ,
等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即
an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a1 。 ∴ n∈N*，公式成立。 ∴ 等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)d简单应用等差数列中a1 =1,d=2
an =
关键求出a1和d1+（n-1）×2=2n-1简单应用通项公式中有几个量？a1 ,d, an ，n的含义？已知其中三个量就可以求出第四个知3求1 （一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an
例如：①a1=1, d=2, 则
an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20(第20项)。解： a1=8, d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11练习：已知等差数列3，7，11，…
则 an=_______________ a4=_________
a10=__________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)4n-11539典例精讲
求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项和第2004项。分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20
由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
= -28(二)求首项a1例如 ：已知a20=－49, d=－3 则，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=______________6an=a1+(n－1)d (n∈N*)(三)求项数n 例如：
①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项? 解 ：a1=8, d=－3 则 an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得 n=20。an=a1+(n－1)d (n∈N*) ②问－400是不是等差数列－5，－9，－13，… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 －400=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4)
= -4n-1
∵ -401= -4n-1
∴n=100
∴ -401是该数列的第100项。 分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首 项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。 由 an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1 ∴n=999－100+1=900 练习： 10 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？ 解1：第15项 (四)求公差d 例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12
由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7
从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54…。总结：在 an=a1+(n－1)d n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？an=a1+(n－1)d (n∈N*) 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.解：由题意可知解得：注：等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中，an, a1, n，d 这四个变量 ，知道其中三个量就可以求余
下的一个量，知三求一. 解： 由题意可得
a1+5d=12 (1)
﹛
a1+17d=36 (2) ∴ an=2+(n-1) ×2=2n∴ a1=2 d=2 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。变式、 在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,求通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。***********评注：四、能力培养：
两个等差数列5，8，11，…，和3，7，11，…都有100项，
求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列 ｛an｝: 5，8，11，…公差为3
｛bn｝: 3，7，11，…公差为4
通项公式分别是an=5+(n－1)·3=3n+2
bn=3+(n－1)·4=4n－1
假设｛an｝的第n项与｛bn｝的第k项相同，即 an=bk
则 3n+2=4k－1 3n=4k－1 ∵n∈N* ∴k必是3的倍数
k=3,6, 9, 12,…， 组成新的等差数列｛cn｝
而相应的 n=3,7,11,15,…， 组成新的等差数列｛dn｝
即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，…解法二：已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，…
和｛bn｝：3, 7, 11, …
则 通项公式分别是an=5+(n－1)·3
bn=3+(n－1)·4观察：
5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…
3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，…因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11,
公差?d=12的等差数列｛cn｝
又 a100=5+(100－1)·3=302 b100=3+(100－1)·4=399谢谢观赏！
天文学家陈丹说: 2062年左右。 相差76新课引入通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米9-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.减少6.5观察与思考 ：下面的几个数列：
（1）1 ，3 ， 5 ，7，9，11， ……
（2）3，6，9，12，15，18，……
（3）1，1，1，1，1，1，1，……
（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……问题：这些数列有何特点？特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数对于数列（1），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于2;对于数列（2），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于3;对于数列（3），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于0;对于数列（4），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于-3.新知探究一——等差数列的概念一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.判断标准对等差数列的定义的理解1．如果一个数列，不是从第2项起，而是
从第3项起或第4项起，每一项与它前一
项的差是同一个常数，那么这个数列不
是等差数列．
2．一个数列从第2项起，每一项与它前一
项的差尽管等于常数，这个数列也不一
定是等差数列，因为这些常数不一定相
同．当这些常数不同时，此数列不是等
差数列 对等差数列的定义的理解3．求公差时，要注意相邻两项相减的顺序
d=an+1-an或d=an-an-1(n≥2) ——后-前
4. 要判断一个数列是不是等差数列，只要
看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通
一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2
等有限的几个式子的值后，发现它一个
常数，就得出该数列为等差数列的结论5.常数列一定是等差数列 6.等差数列公差d的讨论——3种 例1、判断下面数列是否为等差数列. （2）不是.因为从第2项起后项与前项的差是：1，2，
3，4，5，‥‥是常数，但不是同一常数. （3）是.因为从第2项起后项与前项的差都是0，符
合等差数列的定义.例2、 观察下列数列是否是等差数列例3、
①数列a，2a，3a，4a，…是等差数列（ ）
②若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3
的等差数列。 （ ）
若a2－a1=a3－a2, 则数列｛an｝是等差数
列 （ ）
③小结：证明一个数列是等差数列的方法是：
思考1：既然（1）是等差数列，请你动手求数列（1）的第2004项做笔记思考3：求等差数列10，8，6，4……的第20项？2004项？——思路是什么？思考4：能否从思考1的角度出发，考虑思考2的具体做法？思考2：思考1是什么类型的问题？已知什么？求的是什么？思考5：问题转化为——如何求等差数列的通项公式问题：已知等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，求an解法一：由等差数列的定义可知：
a2－a1=d,a3－a2=d,a4－a3=d, ……
则 a2=a1＋d
a3=a2＋d=（a1＋d）＋d=a1＋2d
a4=a3＋d=（a1＋2d）＋d=a1＋3d
……由此可知：an=a1＋（n－1）d
当n=1时,a1=a1＋（1－1）d=a1 等式成立
这表明当n ∈N*时，an=a1＋（n－1）d成立。新知探究二——等差数列的通项公式解法二：等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ，如： 那麽，则由定义得：
a2-a1=d (1)
a3-a2=d (2)
a4-a3=d (3)
a5-a4=d (4)
、、、、、
an-a n-1=d分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_____个式子相加，则有： n-1 等号左边为：an-a1 ,
等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即
an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a1 。 ∴ n∈N*，公式成立。 ∴ 等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)d简单应用等差数列中a1 =1,d=2
an =
关键求出a1和d1+（n-1）×2=2n-1简单应用通项公式中有几个量？a1 ,d, an ，n的含义？已知其中三个量就可以求出第四个知3求1 （一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an
例如：①a1=1, d=2, 则
an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20(第20项)。解： a1=8, d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11练习：已知等差数列3，7，11，…
则 an=_______________ a4=_________
a10=__________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)4n-11539典例精讲
求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项和第2004项。分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20
由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d
=10+(20-1)×(-2)
= -28(二)求首项a1例如 ：已知a20=－49, d=－3 则，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=______________6an=a1+(n－1)d (n∈N*)(三)求项数n 例如：
①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项? 解 ：a1=8, d=－3 则 an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得 n=20。an=a1+(n－1)d (n∈N*) ②问－400是不是等差数列－5，－9，－13，… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 －400=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4)
= -4n-1
∵ -401= -4n-1
∴n=100
∴ -401是该数列的第100项。 分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥
的项 ？如果是，是第几项？解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首 项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。 由 an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1 ∴n=999－100+1=900 练习： 10 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？ 解1：第15项 (四)求公差d 例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12
由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7
从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54…。总结：在 an=a1+(n－1)d n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？an=a1+(n－1)d (n∈N*) 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.解：由题意可知解得：注：等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中，an, a1, n，d 这四个变量 ，知道其中三个量就可以求余
下的一个量，知三求一. 解： 由题意可得
a1+5d=12 (1)
﹛
a1+17d=36 (2) ∴ an=2+(n-1) ×2=2n∴ a1=2 d=2 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。变式、 在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,求通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。***********评注：四、能力培养：
两个等差数列5，8，11，…，和3，7，11，…都有100项，
求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列 ｛an｝: 5，8，11，…公差为3
｛bn｝: 3，7，11，…公差为4
通项公式分别是an=5+(n－1)·3=3n+2
bn=3+(n－1)·4=4n－1
假设｛an｝的第n项与｛bn｝的第k项相同，即 an=bk
则 3n+2=4k－1 3n=4k－1 ∵n∈N* ∴k必是3的倍数
k=3,6, 9, 12,…， 组成新的等差数列｛cn｝
而相应的 n=3,7,11,15,…， 组成新的等差数列｛dn｝
即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，…解法二：已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，…
和｛bn｝：3, 7, 11, …
则 通项公式分别是an=5+(n－1)·3
bn=3+(n－1)·4观察：
5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…
3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，…因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11,
公差?d=12的等差数列｛cn｝
又 a100=5+(100－1)·3=302 b100=3+(100－1)·4=399谢谢观赏！