参考答案
1. D 2. A 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C
8. ＋1
9. 100
10. 11
11. 解：∵∠B＝90°，∴AC为斜边.∵AC∶AB＝3∶1，于是可设AB＝k，那么AC＝3k，根据勾股定理可知BC＝2k.∴sinC＝＝＝，cosC＝＝＝，tanC＝＝＝.
12. 解：∵∠A＝42°24′，∴∠TAC＝∠A＝21°12′. 在Rt△ATC中，∵cos∠TAC＝，∴AC＝AT·cos∠TAC.∴AC＝14.7×cos21°12′≈13.705(cm).
13. 解：设BD＝xm，则BC＝xm，BE＝(x＋2)m.在Rt△BDE中，＝tan∠EDB，∴＝1.33，x＝6.06，∵＝sin∠EDB，∴ED＝＝＝10.1≈10.答：钢缆ED的长度约为10米.
14. 解：如图所示，根据题意，得△ABE和△BDC是直角三角形，∴∠3＝∠4＝90°.∵∠A＋∠2＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠A.∴tan∠1＝tanA＝.在Rt△BCD中，tan∠1＝.设CD＝x，则BD＝3x，∴x2＋(3x)2＝()2，解得∴x＝.∴BD＝3x＝.答：BD的长为米.
15. 解：过点C作CE⊥AB，垂足为点E.过点D作DF⊥AB，垂足为点F.∵甲船的速度为30海里/小时，时间为2小时，∴AC＝30×2＝60(海里)，又∵∠CAE＝45°，∴AE＝EC＝30海里.在△BDF中，∵DF＝CE＝30海里，∠DBF＝60°，∴BF＝＝10(海里).又∵BE＝AE－AB＝30－33≈9.3海里，∴EF＝BF－BE＝10－9.3≈10×2.45－9.3＝15.2(海里).∴CD＝EF＝15.2≈15(海里).答：行至上午11：00时，两船之间的距离约为15海里.
沪科版数学九年级上册第二十三章《解直角三角形》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 锐角三角函数的定义
要点简介：余弦的定义.
经典例题1 如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.
解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝＝，OB＝AB＝＝，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝＝＝.
答案：
点拨：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题.
类型二 求特殊的三角函数值
要点简介：相似三角形的判定与特殊角的三角函数值的综合应用.
经典例题2 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________.
解析：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝.在Rt△ACB中，∠B＝45°，∴AB＝AC.∴＝. 在Rt△ACD中，∠D＝30°，∴＝tan30°＝，∴＝.
答案：
点拨：本题通过相似三角形对应边成比例和等腰直角三角形两直角边相等，将转化为求tanD的值，考查了特殊角的三角函数值这一要点.
类型三 解直角三角形
要点简介：解直角三角形.
经典例题3 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为________.(结果保留根号)
图1 图2
解析：如图2，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.在Rt△AEO中，AO＝AC＝3，∠AOB＝60°，∴AE＝AO·sin60°＝，∴S△ABD＝BD·AE＝6.同理S△CBD＝BD·CF＝6. ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△CBD＝12.
答案：12
类型四 解直角三角形的应用
要点简介：应用解直角三角形解决仰角、俯角问题.
经典例题4 天塔是天津市的标志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m.根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)
解析：在等腰直角三角形ADC中，AD＝CD，而AD＝AB＋BD＝112＋BD，所以BD＝CD－112，故可以在Rt△BDC中，利用∠BCD的正切把BD和CD联系在一起.
解：根据题意，得∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m.
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD.
又AD＝AB＋BD，
∴BD＝AD－AB＝CD－112.
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，
∠BCD＝90°－∠CBD＝36°，
∴tan36°＝，即BD＝CD·tan36°，
∴CD·tan36°＝CD－112，
∴CD＝≈≈415(m).
答：天塔的高度CD约为415m.
综 合 检 测
一、选择题
1. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )
A. 2 B. C. D.
第1题 第2题
2. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠BOC＝120°，则tanA的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕.若AE＝3，则sin∠BFD的值为( )
A. B. C. D.
第3题 第4题
4. 如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
A. 2m B. 2m C. (2－2)m D. (2－2)m
5. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )
A. ()米2 B. ()米2 C. (4＋)米2 D. (4＋4tanθ)米2
6. 聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)( )
A. 169米 B. 204米 C. 240米 D. 407米
7. 如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝150°，沿BD方向前进，取∠BDE＝60°，测得BD＝520m，BC＝80m，并且AC，BD，DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为( )
A. 180 m B. 260m
C. (260－80)m D. (260－80)m
二、填空题
8. 小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是 .
第8题 第9题
9. 如图，一山坡的坡度为1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，小辰上升了 米.
10. 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里.(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)
三、解答题
11. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC∶AB＝3∶1，求sinC，cosC，tanC的值.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°24′，∠A的平分线AT＝14.7cm，用计算器求AC的长.(结果精确到0.001)
13. 如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角，在C点上方2米处加固另一条钢缆ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢缆ED的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin53°＝0.80，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33)
14. 如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为米，tanA＝，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长.(结果保留根号)
15. 如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A，B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里.甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行.上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向.求此时两船之间的距离.(结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
