沪科版数学九年级上册同步课时训练
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切
自主预习 基础达标
要点1 正切的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边BC与邻边AC的比叫做∠A的 ，记作tanA＝ .
要点2 坡度(坡比)、坡角
如图，坡面与水平面的夹角α叫做 ，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的 ，记作i＝＝tanα.坡度越大，坡角α越 ，坡面越 .
课后集训 巩固提升
1. 在△ABC，∠C＝90°，AB＝15，tanA＝，则BC等于( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 14
2. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么∠A的正切值( )
A. 扩大两倍 B. 缩小两倍 C. 没有变化 D. 不能确定
3. 如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为α，tanα＝2，则t的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第3题 第4题
4. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比为1∶2，坡高BC＝5m，则坡面AB的长度为( )
A. 10m B. 10m C. 5m D. 5m
5. 坡比常用来反映斜坡的倾斜程度，如图所示，斜坡AB的坡比为( )
A. 1∶3 B. 3∶1 C. 1∶2 D. 2
第5题 第6题
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan∠CFB的值等于( )
A. B. C. D. 5
7. 如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
第7题 第8题
8. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD长为( )
A. 2 B. C. D. 1
9. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝ .
第9题 第10题
10. 如图所示，直线y＝x－4交x轴于点A，交y轴于点B，则tan∠OAB＝ .
11. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米.
12. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，BC＝10，则tanB＝ .
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝ .
第13题 第14题
14. 如图所示，已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4∶5，E是AB上的一点，沿CE将△EBC向上翻折，若点B恰好落在边AD的点F上，则tan∠DCF＝ .
15. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是 cm.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，＝，求BC的长和tanB的值.
17. 如图所示，已知AB是Rt△ABC的斜边，CD为斜边AB上的高，利用所学的有关锐角三角函数的知识证明CD2＝AD·BD.
18. 我们可用45°角的正切，求出22.5°角的正切，方法如下：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，利用图形，求tan22.5°.
解：如图所示，设AC＝BC＝a，由勾股定理得AB＝a，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD.∵∠ABC＝∠1＋∠2，又BD＝AB，∴∠1＝∠2.∴∠ABC＝2∠2.∵∠ABC＝45°，∴∠2＝22.5°.在Rt△ACD中，AC＝a，CD＝CB＋BD＝CB＋AB＝a＋a.∴tan22.5°＝tan∠ADC＝＝＝＝－1.
请你仿照上例求15°的正切值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 正切
要点2 坡角(或称倾斜角) 坡度(或坡比) 大 陡
课后集训 巩固提升
1. C 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C 7. A 8. A
9.
10.
11. 26
12.
13.
14.
15. 210
16. 解：∵AB＝10，＝，∴BC＝4.∴AC＝＝2.∴tanB＝＝.
17. 证明：CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，tanA＝，tan∠BCD＝，∴＝，即CD2＝AD·BD.
18. 解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，设AC＝a，可知BC＝a，AB＝2a，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD.∵∠ABC＝∠1＋∠2，又∵AB＝BD，∴∠ABC＝2∠1＝2∠2.∴∠1＝∠2＝15°.在Rt△ACD中，∠C＝90°，AC＝a，CD＝DB＋BC＝AB＋BC＝2a＋a.∴tan15°＝tan∠ADC＝＝＝2－.
