沪科版数学九年级上册同步课时训练
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
自主预习 基础达标
要点1 正弦的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的 ，记作sinA＝ .
要点2 余弦的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的 ，记作cosA＝ .
要点3 锐角的三角函数
锐角A的 、 、 都叫做锐角A的三角函数.
课后集训 巩固提升
1. 在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的正弦值( )
A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 不能确定
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB的值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是 ( )
A. B. C. D.
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为( )
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
6. 在△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则sinA＝ .
7. 如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosB的值为 .
第7题 第8题
8. 如图，在矩形ABCD中DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为 .
9. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝ .
第9题 第10题
10. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 .
11. 如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则sin∠A′BC′的值为 .
12. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，点P是AB上一点，AP＝2BP，PQ⊥BC于点Q，连接AQ，则cos∠AQC的值为 .
13. 已知sinα(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求sinα的值.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)sin2A与cos2A有什么关系？试写出你的推理过程；
(2)tanA与有何关系？试写出你的推理过程.
15. 已知∠A为锐角，tanA＝2，求的值.
16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝DC＝4，tanB＝.求：
(1)△ABC的面积；
(2)sin∠BAC的值.
17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝，BC＝26.求：
(1)cos∠DAC的值；
(2)线段AD的长.
18. 如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝12，求AD的长.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 正弦
要点2 余弦
要点3 正弦 余弦 正切
课后集训 巩固提升
1. C 2. D 3. C 4. A 5. C
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 解：∵方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝，又∵0＜sinα＜1，∴sinα＝.
14. 解：(1)sin2A＋cos2A＝1，推理如下：∵sinA＝，cosA＝，∴sin2A＋cos2A＝()2＋()2＝＝＝1.
(2)tanA＝.∵sinA＝，cosA＝，∴＝＝，∵tanA＝，∴tanA＝.
15. 解：∵tanA＝＝2，∴sinA＝2cosA.∴原式＝＝＝－.
16. 解：(1)在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，tanB＝＝，∴＝，∴BD＝3，∴BC＝BD＋DC＝3＋4＝7.∴S△ABC＝BC·AD＝×7×4＝14.
(2)过点B作BE⊥AC，垂足为E.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝＝4.∵S△ABC＝AC·BE＝×4·BE＝14，∴BE＝.在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝＝＝5.在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，sin∠BAC＝＝＝.
17. 解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝＝，BC＝26，∴AB＝10，∴AC＝＝＝24.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴cos∠DAC＝cos∠ACB＝＝.
(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E.∵AD＝DC，∴AE＝EC＝AC＝12，在Rt△ADE中，cos∠DAE＝＝，∴AD＝13.
18. 解：(1)在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB＝，cos∠DAC＝，tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.
(2)在Rt△ADC中，由sinC＝，可设AD＝12k，则AC＝13k，CD＝5k，由(1)知，BD＝AC＝13k，∴13k＋5k＝12，k＝，∴AD＝12×＝8.
